Super-Poissonisk distribution
I matematik är en superpoissonisk fördelning en sannolikhetsfördelning som har en större varians än en Poissonfördelning med samma medelvärde . Omvänt har en sub-Poissonisk fördelning en mindre varians.
Ett exempel på superpoissonisk fördelning är negativ binomialfördelning .
Poisson -fördelningen är ett resultat av en process där tiden (eller ett likvärdigt mått) mellan händelser har en exponentiell fördelning , som representerar en minneslös process.
Matematisk definition
Inom sannolikhetsteorin är det vanligt att säga att en fördelning, D , är en underfördelning av en annan fördelning E om D :s momentgenererande funktion , begränsas av E :s upp till en konstant. Med andra ord
![{\displaystyle E_{X\sim D}[\exp(tX)]\leq E_{X\sim E}[\exp(CtX)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a8e579b63825952ce819319d430b8aac545072)
för vissa C > 0 . Detta innebär att om och båda är från en sub-E-distribution, så är .
En fördelning är strikt sub- om C ≤ 1 . Från denna definition är en fördelning, D , sub-Poissonisk om
![{\displaystyle E_{X\sim D}[\exp(tX)]\leq E_{X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )}[\exp(tX)]=\exp(\lambda (e^{t}-1)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b821af3b3c6633ae4e32adce0b0eb1fca9fce1)
för alla t > 0 .
Ett exempel på en sub-Poissonisk fördelning är Bernoulli-fördelningen , eftersom
![{\displaystyle E[\exp(tX)]=(1-p)+pe^{t}\leq \exp(p(e^{t}-1)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35ff8e548aaacec5b1ec31161e5423a9476688b)
Eftersom sub-Poissonianism bevaras av summor får vi att binomialfördelningen också är sub-Poissonian.