Stewarts teorem

Inom geometri ger Stewarts teorem ett samband mellan längderna på sidorna och längden på en cevian i en triangel . Dess namn är för att hedra den skotske matematikern Matthew Stewart , som publicerade teoremet 1746.

Påstående

Diagram över Stewarts teorem

Låt a , b , c vara längderna på sidorna i en triangel. Låt d vara längden av en cevian till sidan av längden a . Om cevian delar sidan av längd a i två segment med längden m och n , med m intill c och n intill b , så säger Stewarts teorem att

$$b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).$$

Ett vanligt minnesmärke som eleverna använder för att memorera denna ekvation (efter att ha ordnat om termerna) är:

$${\underset {{\text{En }}man{\text{ och hans }}pappa}{man\ +\ pappa}}=\!\!\!\!\!\!{\underset { {\text{lägg en }}bomb{\text{ i }}vaskan.}{bmb\ +\ cnc}}$$

Satsen kan skrivas mer symmetriskt med teckenlängder av segment. Det vill säga, ta längden AB för att vara positiv eller negativ beroende på om A är till vänster eller höger om B i någon fast orientering av linjen. I denna formulering säger satsen att om A, B, C är kolinjära punkter och P är vilken punkt som helst, då

${ \displaystyle \left({\overline {PA}}^{2}\cdot {\overline {BC}}\right)+\left({\overline {PB}}^{2}\cdot {\overline {CA }}\right)+\left({\overline {PC}}^{2}\cdot {\overline {AB}}\right)+\left({\overline {AB}}\cdot {\overline {BC }}\cdot {\overline {CA}}\right)=0.}$

I det speciella fallet att cevian är medianen (det vill säga den delar den motsatta sidan i två lika långa segment), är resultatet känt som Apollonius' teorem .

Bevis

Teoremet kan bevisas som en tillämpning av cosinuslagen .

Låt θ vara vinkeln mellan m och d och θ ' vinkeln mellan n och d . Då är θ' tillägget till θ , så cos θ' = −cos θ . Att tillämpa cosinuslagen i de två små trianglarna med hjälp av vinklarna θ och θ' ger

$${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta ,\\b^{2}&=n^{2}+d ^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\end{aligned}}$$

Att multiplicera den första ekvationen med n och den tredje ekvationen med m och addera dem eliminerar cos θ . Man får

$${ \begin{aligned}b^{2}m+c^{2}n&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n) (mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}),\\\end{aligned}}$$

vilket är den nödvändiga ekvationen.

Alternativt kan satsen bevisas genom att dra en vinkelrät från triangelns spets till basen och använda Pythagoras sats för att skriva avstånden b , c , d i termer av höjden. Vänster och höger sida av ekvationen reduceras sedan algebraiskt till samma uttryck.

Historia

Enligt Hutton & Gregory (1843 , s. 220) publicerade Stewart resultatet 1746 när han var en kandidat för att ersätta Colin Maclaurin som professor i matematik vid University of Edinburgh. Coxeter & Greitzer (1967, s. 6) uppger att resultatet förmodligen var känt för Archimedes omkring 300 f.Kr. De fortsätter med att säga (felaktigt) att det första kända beviset gavs av R. Simson 1751. Hutton & Gregory (1843) ange att resultatet används av Simson 1748 och av Simpson 1752, och dess första uppträdande i Europa gavs av Lazare Carnot 1803.

Se även

• Masspunktsgeometri

Anteckningar

•   Coxeter, HSM; Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , New Mathematical Library #19, The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-619-0
• Hutton, C.; Gregory, O. (1843), A Course of Mathematics , vol. II, Longman, Orme & Co.
•   Russell, John Wellesley (1905), "Chapter 1 §3: Stewart's Theorem", Pure Geometry , Clarendon Press, OCLC 5259132

Vidare läsning

• IS Amarasinghe, Solutions to the Problem 43.3 : Stewart's Theorem ( A New Proof for the Stewart's Theorem using Ptolemy's Theorem ), Mathematical Spectrum , Vol 43(03) , s. 138 – 139, 2011.
•   Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by Its History , Springer, sid. 112, ISBN 978-3-642-29162-3

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Stewarts sats" . MathWorld .
• Stewarts teorem på PlanetMath .