Stewart–Walker lemma

Stewart -Walker-lemmat ger nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för att den linjära störningen av ett tensorfält ska vara mätinvariant . $\Delta \delta T=0$ om och endast om något av följande gäller

1. $T_{0}=0$

2. $T_{0}$ är ett konstant skalärt fält

3. $T_{0}$ är en linjär kombination av produkter av deltafunktioner $\delta _{a}^{b}$

Härledning

En 1-parameters familj av grenrör betecknade med ${\mathcal {M}}_{\epsilon }$ med ${\mathcal {M}}_{0}={\mathcal {M}}^{4}$ har metrisk $g_{ik}=\eta _{ik}+\epsilon h_{ik}$ . Dessa grenrör kan sättas ihop för att bilda ett 5-grenrör ${\mathcal {N}}$ . En jämn kurva $\gamma$ kan konstrueras genom ${\mathcal {N}}$ med tangent 5-vektor $X$ , tvärs ${\mathcal {M }}_{\epsilon }$ . Om $X$ definierad så att om $h_{t}$ är familjen av 1-parameterskartor som mappar ${\mathcal {N}}\till {\mathcal {N}}$ och $p_{0}\in {\mathcal {M}}_{0}$ sedan en punkt $p_{\epsilon }\in {\ mathcal {M}}_{\epsilon }$ kan skrivas som $h_{\epsilon }(p_{0})$ . Detta definierar också en tillbakadragning $h_{\epsilon }^{*}$ som mappar ett tensorfält $T_{\epsilon }\i {\mathcal {M}}_ {\epsilon }$ tillbaka till ${\mathcal {M}}_{0}$ . Med tillräcklig jämnhet kan en Taylor-expansion definieras

$h_{\epsilon }^{*}(T_{\epsilon })=T_{0} +\epsilon \,h_{\epsilon }^{*}({\mathcal {L}}_{X}T_{\epsilon })+O(\epsilon ^{2})$

${\displaystyle \delta T=\epsilon h_{\epsilon }^{*}({\mathcal {L}}_{X }T_{\epsilon })\equiv \epsilon ({\mathcal {L}}_{X}T_{\epsilon })_{0}} är den linjära$ störningen av $T$ . Men eftersom valet av $X$ är beroende av valet av mätare kan en annan mätare användas. Därför blir skillnaderna i gauge $\Delta \delta T=\epsilon ({\mathcal {L}}_{X}T_{\epsilon })_{0}-\epsilon ({\mathcal {L}}_{Y}T_{\epsilon })_{0}=\epsilon ({\mathcal {L}}_{XY}T_{\epsilon })_{0}$ . Välja ett diagram där $X^{a}=(\xi ^{\mu },1)$ och $Y^{a} =(0,1)$ sedan $X^{a}-Y^{a}=(\xi ^{\mu },0)$ som är en brunn definierad vektor i valfri ${\mathcal {M}}_{\epsilon }$ och ger resultatet

$\Delta \delta T=\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi}T_{0}.$

De enda tre möjliga sätten detta kan tillfredsställas är lemmat.

Källor

•   Stewart J. (1991). Avancerad allmän relativitet . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-44946-4 . Beskriver härledning av resultat i avsnittet om Lie-derivat