Stahls sats

Inom matrisanalys är Stahls sats en sats som bevisades 2011 av Herbert Stahl angående Laplace-transformer för speciella matrisfunktioner. Det uppstod 1975 som Bessis-Moussa-Villani (BMV) gissningar av Daniel Bessis, Pierre Moussa och Marcel Villani. 2004 Elliott H. Lieb och Robert Seiringer två viktiga omformuleringar av BMV-förmodan. År 2015 Alexandre Eremenko ett förenklat bevis på Stahls teorem.

Uttalande av satsen

Låt $\operatorname {tr}$ beteckna spåret av en matris . Om $A$ och $B$ är $n\times n$ hermitiska matriser och $B$ är positiv semidefinite , definiera ${\displaystyle \mathbf {f} (t)=\operatörsnamn {tr} (\exp(A-tB))} ,$ för alla verkliga $t\geq 0$ . Då $\mathbf {f}$ representeras som Laplace-transformen av ett icke-negativt Borelmått $\mu$ på $[0,\infty )$ . Med andra ord, för alla verkliga $t\geq 0$ ,

$\mathbf {f}$ ( t ) = $\int _{[0,\infty )}e^{-ts}\, d\mu (s)$ ,

för något icke-negativt mått $\mu$ beroende på $A$ och $B$ .