Stöd polygon

För ett styvt föremål i kontakt med en fixerad miljö och påverkat av gravitation i vertikal riktning är dess stödpolygon ett horisontellt område över vilket masscentrum måste ligga för att uppnå statisk stabilitet. Till exempel, för ett föremål som vilar på en horisontell yta (t.ex. ett bord), är stödpolygonen det konvexa skrovet av dess "fotavtryck" på bordet.

Stödpolygonen representerar kortfattat de villkor som krävs för att ett föremål ska vara i jämvikt under gravitation. Det vill säga, om objektets masscentrum ligger över stödpolygonen, så finns det en uppsättning krafter över kontaktområdet som exakt motverkar gravitationskrafterna. Observera att detta är ett nödvändigt villkor för stabilitet, men inte tillräckligt .

Härledning

Låt objektet vara i kontakt vid ett ändligt antal punkter $C_{1},\ldots ,C_{N}$ . Vid varje punkt $C_{k}$ , låt $FC_{k}$ vara uppsättningen krafter som kan appliceras på objektet vid den punkten. Här $FC_{k}$ känd som friktionskonen , och för Coulomb-modellen av friktion är den faktiskt en kon med spets vid utgångspunkten, som sträcker sig till oändligheten i kontaktens normala riktning.

Låt $f_{1},\ldots ,f_{N}$ vara de (ospecificerade) krafterna vid kontaktpunkterna. För att balansera objektet i statisk jämvikt måste följande Newton-Euler-ekvationer uppfyllas på $f_{1},\ldots ,f_{N}}$ :

• $\sum _{k=1}^{N}f_{k}+G=0$
• $\sum _{k=1}^{N}f_{k}\ gånger C_{k}+G\ gånger CM=0$
• $f_{k}\in FC_{k}$ för alla $k$

där $G$ är tyngdkraften på föremålet, och $CM$ är dess masscentrum. De två första ekvationerna är Newton-Eulers ekvationer , och den tredje kräver att alla krafter är giltiga. Om det inte finns någon uppsättning krafter $f_{1},\ldots ,f_{N}$ som uppfyller alla dessa villkor, kommer objektet inte att vara i jämvikt.

Den andra ekvationen är inte beroende av den vertikala komponenten av masscentrum, och om det finns en lösning för en ${\displaystyle CM} ,$ fungerar samma lösning för alla $CM+\alpha G$ . Därför är mängden av alla $CM$ som har lösningar på ovanstående villkor en mängd som sträcker sig oändligt i riktningarna upp och ner. Stödpolygonen är helt enkelt projektionen av denna uppsättning på horisontalplanet.

Dessa resultat kan enkelt utökas till olika friktionsmodeller och ett oändligt antal kontaktpunkter (dvs. ett kontaktområde).

Egenskaper

Även om ordet "polygon" används för att beskriva denna region, kan det i allmänhet vara vilken konvex form som helst med böjda kanter. Stödpolygonen är invariant under translationer och rotationer kring gravitationsvektorn (det vill säga om kontaktpunkterna och friktionskonerna translaterades och roterades runt gravitationsvektorn, translateras och roteras stödpolygonen helt enkelt).

Om friktionskonerna är konvexa koner (som de vanligtvis är), är stödpolygonen alltid ett konvext område. Den är också invariant i förhållande till föremålets massa (förutsatt att den inte är noll).

Om alla kontakter ligger på ett (inte nödvändigtvis horisontellt) plan, och friktionskonerna vid alla kontakter innehåller den negativa gravitationsvektorn $-G$ , så är stödpolygonen det konvexa skrovet för kontaktpunkterna som projiceras på horisontalplanet plan.