Spechts teorem

Inom matematiken ger Spechts teorem ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att två komplexa matriser ska vara enhetligt ekvivalenta . Den är uppkallad efter Wilhelm Specht , som bevisade teoremet 1940.

Två matriser A och B med komplexa talposter sägs vara enhetligt ekvivalenta om det finns en enhetlig matris U så att B = U * AU . Två matriser som är enhetligt ekvivalenta är också lika . Två liknande matriser representerar samma linjära karta , men med avseende på en annan bas ; enhetlig ekvivalens motsvarar en förändring från en ortonormal basis till en annan ortonormal basis.

Om A och B är enhetligt ekvivalenta, då är tr AA * = tr BB *, där tr betecknar spåret ( med andra ord, Frobenius-normen är en enhetlig invariant). Detta följer av spårets cykliska invarians: om B = U * AU , då tr BB * = tr U * AUU * A * U = tr AUU * A * UU * = tr AA *, där den andra likheten är cyklisk invarians .

Således är tr AA * = tr BB * ett nödvändigt villkor för enhetlig ekvivalens, men det är inte tillräckligt. Spechts sats ger oändligt många nödvändiga förutsättningar som tillsammans också är tillräckliga. Formuleringen av satsen använder följande definition. Ett ord i två variabler, säg x och y , är ett uttryck för formen

$W(x,y)=x^{m_{1}}y^{n_{1}} x^{m_{2}}y^{n_{2}}\cdots x^{m_{p}},$

där m ₁ , n ₁ , m ₂ , n ₂ , …, m _p är icke-negativa heltal. Graden av detta ord är

$m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+\cdots +m_{p}.$

Spechts teorem: Två matriser A och B är enhetligt ekvivalenta om och endast om tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) för alla ord W .

Satsen ger ett oändligt antal spåridentiteter, men det kan reduceras till en ändlig delmängd. Låt n beteckna storleken på matriserna A och B . För fallet n = 2 räcker följande tre villkor:

$\operatörsnamn {tr} \,A=\operatörsnamn {tr} \,B,\quad \operatörsnamn {tr} \,A^{2}=\operatörsnamn {tr} \,B^{2},\ quad {\text{and}}\quad \operatörsnamn {tr} \,AA^{*}=\operatörsnamn {tr} \,BB^{*}.$

För n = 3 räcker följande sju villkor:

${\begin{aligned}&\operatörsnamn {tr} \,A=\operatörsnamn {tr} \,B,\quad \operatörsnamn {tr} \,A^{2}=\operatörsnamn {tr} \, B^{2},\quad \operatörsnamn {tr} \,AA^{*}=\operatörsnamn {tr} \,BB^{*},\quad \operatörsnamn {tr} \,A^{3}=\ operatörsnamn {tr} \,B^{3},\\&\operatörsnamn {tr} \,A^{2}A^{*}=\operatörsnamn {tr} \,B^{2}B^{*} ,\quad \operatörsnamn {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}=\operatörsnamn {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2} ,\quad {\text{and}}\quad \operatörsnamn {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=\operatörsnamn {tr} \,B^ {2}(B^{*})^{2}BB^{*}.\end{aligned}}$  

För allmänt n räcker det att visa att tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) för högst alla gradord

$n{\sqrt {{\frac {2n^{2}}{n-1}}+{\frac {1}{4} }}}+{\frac {n}{2}}-2.$  

Det har antagits att detta kan reduceras till ett uttryck linjärt i n .

Anteckningar

•   Đoković, Dragomir Ž.; Johnson, Charles R. (2007), "Unitarily achievable zero patterns and traces of words in A and A *", Linear Algebra and its Applications , 421 (1): 63–68, doi : 10.1016/j.laa.2006.03. 002 , ISSN 0024-3795 .
•   Freedman, Allen R.; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), "Shirshov's theorem and representations of semigroups", Pacific Journal of Mathematics , 181 (3): 159–176, doi : 10.2140/pjm.1997.181.159 , ISSN 03030-877 .
•   Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .
•   Pappacena, Christopher J. (1997), "An upper bound for the length of a finite-dimensional algebra", Journal of Algebra , 197 (2): 535–545, doi : 10.1006/jabr.1997.7140 , ISSN 0021-8693 .
• Sibirskiǐ, KS (1976), Algebraiska invarianter av differentialekvationer och matriser (på ryska), Izdat. "Štiinca", Kishinev .
•   Specht, Wilhelm (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 50 : 19–23, ISSN 0012-0456 .