Slutvärdessats

I matematisk analys är slutvärdessatsen (FVT) en av flera liknande satser som används för att relatera frekvensdomänuttryck till tidsdomänens beteende när tiden närmar sig oändligheten . Matematiskt, om $f(t)$ i kontinuerlig tid har (ensidig) Laplace-transform $F(s)$ , ​​då upprättar en slutvärdessats villkor under vilka

$\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\,\to \,0}{sF (s)}$

På samma sätt, om $f[k]$ i diskret tid har (ensidig) Z-transform $F(z)$ , då upprättar en slutvärdessats villkor under vilka

$\lim _{k\to \infty }f[k]=\lim _{z\to 1}{ (z-1)F(z)}$

En abeliaansk slutvärdessats gör antaganden om tidsdomänens beteende för $f(t)$ (eller $f[k]$ ) för att beräkna $\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}$ . Omvänt gör en tauberisk slutvärdessats antaganden om frekvensdomänens beteende hos $F(s)$ för att beräkna $\lim _{t\to \infty }f(t)$ (eller ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]} )$ (se Abelska och Tauberiska satser för integraltransformer ).

Slutvärdessatser för Laplacetransformen

Härleda gräns _{t → ∞} f ( t )

betyder notationen ' ${\displaystyle s\to 0} ' att$$s$ närmar sig 0, medan ' ${\displaystyle s\downarrow 0} '$ betyder att $s$ närmar sig 0 genom de positiva talen.

Standard slutvärdessats

Antag att varje pol av $F(s)$ antingen är i det öppna vänstra halvplanet eller vid origo, och att $F(s)$ har högst en enda pol vid ursprunget. Sedan $sF(s)\to L\in \mathbb {R}$ som $s\to 0$ , och $\lim _{t\to \infty }f(t)=L$ .

Slutvärdessats med Laplace-transform av derivatan

Antag att $f(t)$ och $f'(t)$ båda har Laplace-transformer som finns för alla $s>0$ . Om $\lim _{t\to \infty }f(t)$ finns och $\lim _{s\,\to \ ,0}{sF(s)}$ existerar då $\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _ {s\,\to \,0}{sF(s)}$ .

Anmärkning

Båda gränserna måste finnas för att teoremet ska hålla. Till exempel, om $f(t)=\sin(t)$ så $\lim _{t\to \infty } f(t)$ finns inte, men $\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)} =\lim _{s\,\to \,0}{\frac {s}{s^{2}+1}}=0$ .

Förbättrad Tauberian converse Final Value Theorem

Antag att $f:(0,\infty )\to \mathbb {C}$ är avgränsad och differentierbar, och att $tf'(t)$ är också begränsad till $(0,\infty )$ . Om $sF(s)\to L\in \mathbb {C}$ as $s\to 0$ så $\lim _{t\to \infty }f(t)=L$ .

Utökad slutvärdessats

Antag att varje pol av $F(s)$ är antingen i det öppna vänstra halvplanet eller i origo. Då inträffar något av följande:

1. $sF(s)\to L\in \mathbb {R}$ as $s\downarrow 0$ , och $\lim _{t\to \infty }f(t)=L$ .
2. $sF(s)\to +\infty \in \mathbb {R}$ som $s\downarrow 0$ , och $f(t)\to +\infty$ som $t\to \infty$ .
3. $sF(s)\to -\infty \in \mathbb {R}$ som $s\downarrow 0$ , och $f(t)\to -\infty$ som $t\to \infty$ .

Speciellt om $s=0$ är en multipelpol av $F(s)$ gäller fall 2 eller 3 ( $f(t )\to +\infty$ eller ${\displaystyle f(t)\to -\infty } )$ .

Generaliserat slutvärdessats

Antag att $f(t)$ är Laplace-transformerbar. Låt $\lambda >-1$ . Om ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}} finns$ och $\lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)}$ finns då

$\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t) }{t^{\lambda }}}={\frac {1}{\Gamma (\lambda +1)}}\lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s) }$

där $\Gamma (x)$ anger Gamma-funktionen .

Ansökningar

Slutvärdessatser för att erhålla $\lim _{t\to \infty }f(t)$ har tillämpningar för att fastställa den långsiktiga stabiliteten för ett system .

Härleda   lim _{s → 0} s F ( s )

Abelias slutvärdessats

Antag att $f:(0,\infty )\to \mathbb {C}$ är avgränsad och mätbar och $\ lim _{t\to \infty }f(t)=\alpha \in \mathbb {C}$ . Då $F(s)$ för alla $s>0$ och $\lim _{s\,\to \ ,0^{+}}{sF(s)}=\alpha$ .

Elementärt bevis

Antag för bekvämlighets skull att $|f(t)|\leq 1$ på $(0,\infty )$ , och låt $\alpha =\ lim _{t\to \infty }f(t)$ . Låt $\epsilon >0$ , och välj $A$ så att $|f(t)-\alpha |<\epsilon$ för alla $t>A$ . Eftersom ${\displaystyle s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt=1} ,$ för varje $s>0$ vi har

$sF(s)-\alpha =s\int _{0}^{\infty }(f(t)-\alpha )e^{-st}\,dt;$

därav

$|sF(s)-\alpha |\leq s\int _{0}^{A}|f(t)-\alpha |e^{-st}\,dt+s\int _{A }^{\infty }|f(t)-\alpha |e^{-st}\,dt\leq 2s\int _{0}^{A}e^{-st}\,dt+\epsilon s\ int _{A}^{\infty }e^{-st}\,dt=I+II.$

Nu för varje $s>0$ vi har

$II<\epsilon s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt=\epsilon$ .

Å andra sidan, sedan Misslyckades att tolka (SVG (MathML kan aktiveras via webbläsarplugin): Ogiltigt svar ("Math-tillägget kan inte ansluta till Restbase.") från servern "/mathoid/local/v1/":: {\ displaystyle A<\infty} är fixad är det tydligt att ${\displaystyle \lim _{s\to 0}I=0} ,$ och så $|sF(s)-\alpha |<\epsilon$ om $s>0$ är tillräckligt liten.

Slutvärdessats med Laplace-transform av derivatan

Antag att alla följande villkor är uppfyllda:

1. $f:(0,\infty )\to \mathbb {C}$ är kontinuerligt differentierbar och både $f$ och $f'$ har en Laplace omvandla
2. $f'$ är absolut integrerbar - det vill säga $\int _{0}^{\infty }|f'(\tau )|\,d\tau$ är ändlig
3. $\lim _{t\to \infty }f(t)$ finns och är ändlig

Sedan

$\lim _{s\to 0^{+}}sF(s)=\lim _{t\to \infty }f (t)$ .

Anmärkning

Beviset använder sig av Dominated Convergence Theorem .

Slutvärdessats för medelvärdet av en funktion

Låt $f:(0,\infty )\to \mathbb {C}$ vara en kontinuerlig och avgränsad funktion så att följande gräns existerar

$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T }f(t)\,dt=\alpha \in \mathbb {C}$

Sedan $\lim _{s\,\to \,0,\,s>0}{sF(s)}=\alpha$ .

Slutvärdessats för asymptotiska summor av periodiska funktioner

Antag att $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$$[0,\infty )$ kontinuerlig och absolut integrerbar i . Antag vidare att $f$ är asymptotiskt lika med en ändlig summa av periodiska funktioner ${\displaystyle f_{\mathrm {as} }} ,$ dvs.

$|f(t)-f_{\mathrm {as} }(t)|<\phi (t)$

där $\phi (t)$ är absolut integrerbar i $[0,\infty )$ och försvinner i oändligheten. Sedan

$\lim _{s\to 0}sF(s)=\lim _{t\to \infty } {\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}f(x)\,dx$ .

Slutvärdessats för en funktion som divergerar till oändlighet

Låt $f(t):[0,\infty )\to \mathbb {R}$ och $F(s)$ vara Laplace transform av $f(t)$ . Antag att $f(t)$ uppfyller alla följande villkor:

1. $f(t)$ är oändligt differentierbar vid noll
2. $f^{(k)}(t)$ har en Laplace-transform för alla icke-negativa heltal $k$
3. $f(t)$ divergerar till oändligheten som $t\to \infty$

Sedan divergerar $sF(s)$ till oändligheten som $s\to 0^{+}$ .

Slutvärdessats för felaktigt integrerbara funktioner ( Abels teorem för integraler)

Låt $h:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ vara mätbar och sådan att den (möjligen felaktiga) integralen $f(x):=\int _{0}^{x}h(t)\,dt$ konvergerar för $x\to \infty$ . Sedan

$\int _{0}^{\infty }h(t)\,dt:=\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{s\downarrow 0}\int _ {0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,dt.$

Detta är en version av Abels sats .

För att se detta, lägg märke till att $f'(t)=h(t)$ och tillämpa slutvärdessatsen på $f$ efter en integrering av delar : För $s>0$ ,

$s\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt={\Big [}-e^{-st}f(t){\Big ]} _{t=o}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }e ^{-st}h(t)\,dt.$

Genom slutvärdessatsen konvergerar den vänstra sidan till $\lim _{x\to \infty }f(x)$ för $s\to 0$ .

För att fastställa konvergensen av den olämpliga integralen $\lim _{x\to \infty }f(x)$ i praktiken är Dirichlets test för olämpliga integraler ofta till hjälp. Ett exempel är Dirichlet-integralen .

Ansökningar

Slutvärdessatser för att erhålla $\lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}$ har tillämpningar inom sannolikhet och statistik för att beräkna momenten för en stokastisk variabel . Låt $R(x)$ vara kumulativ fördelningsfunktion för en kontinuerlig stokastisk variabel $X$ och låt $\rho (s)$ vara Laplace–Stieltjes-transformen av $R(x)$ . Sedan kan det $n$ -th momentet av $X$ beräknas som

$E[X^{n}]=(-1)^{n}\vänster.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right |_{s=0}$

Strategin är att skriva

${\frac {d^{n}\rho (s )}{ds^{n}}}={\mathcal {F}}{\bigl (}G_{1}(s),G_{2}(s),\dots ,G_{k}(s), \dots {\bigr )}$

där ${\mathcal {F}}(\dots )$ är kontinuerlig och för varje $k$ , $G_{k }(s)=sF_{k}(s)$ för en funktion $F_{k}(s)$ . För varje $k$ , sätt $f_{k}(t)$ som den inversa Laplace-transformen av $F_{k}(s)$ , ​​erhåll ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f_{k}(t)} ,$ och använd en slutvärdessats för att härleda $\lim _{s\,\to \,0}{G_{k}(s)}=\lim _{s\, \to \,0}{sF_{k}(s)}=\lim _{t\to \infty }f_{k}(t)$ . Sedan

$\left.{\frac {d^{n }\rho (s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}={\mathcal {F}}{\Bigl (}\lim _{s\,\to \,0} G_{1}(s),\lim _{s\,\to \,0}G_{2}(s),\dots ,\lim _{s\,\to \,0}G_{k}( s),\dots {\Bigr )}$

och därför erhålls ${\displaystyle E[X^{n}]} .$

Exempel

Exempel där FVT håller

Till exempel för ett system som beskrivs av överföringsfunktionen

$H(s)={\frac {6}{s+2}},$

och så konvergerar impulssvaret till

$\lim _{t\to \infty }h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.$

Det vill säga att systemet återgår till noll efter att ha störts av en kort impuls. Emellertid är Laplace-transformen av enhetsstegsvaret

$G(s)={\frac {1}{s}}{\frac {6}{s+2}}$

och så konvergerar stegsvaret till

$\lim _{t\to \infty }g(t)=\lim _{s\to 0} {\frac {s}{s}}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3$

och så kommer ett nolltillståndssystem att följa en exponentiell ökning till ett slutvärde på 3.

Exempel där FVT inte håller

För ett system som beskrivs av överföringsfunktionen

$H(s)={\frac {9}{s^{2}+9}},$

slutvärdessatsen tycks förutsäga det slutliga värdet av impulssvaret till 0 och det slutliga värdet av stegsvaret vara 1. Ingen av tidsdomängränserna existerar dock, och därför är slutvärdessatsens förutsägelser inte giltiga. Faktum är att både impulssvaret och stegsvaret oscillerar, och (i detta speciella fall) beskriver slutvärdessatsen de medelvärden kring vilka svaren svänger.

Det finns två kontroller utförda i kontrollteorin som bekräftar giltiga resultat för slutvärdessatsen:

1. Alla rötter som inte är noll i nämnaren av $H(s)$ måste ha negativa reella delar.
2. $H(s)$ får inte ha mer än en pol vid origo.

Regel 1 var inte uppfylld i detta exempel, eftersom rötterna till nämnaren är $0+j3$ och $0-j3$ .

Slutvärdessatser för Z-transformen

Deducera lim _{k → ∞} f [ k ]

Slutvärdessats

Om $\lim _{k\to \infty }f[k]$ finns och $\lim _{z \,\to \,1}{(z-1)F(z)}$ existerar då $\lim _ {k\to \infty }f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}$ .

Slutvärde för linjära system

Kontinuerliga LTI-system

Systemets slutvärde

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\ mathbf {B} \mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)$

som svar på en steginmatning är $\mathbf {u} (t)$ med amplitud ${\displaystyle R} :$

$\lim _{t\to \infty }\mathbf {y} (t)=\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf { B} R$

Samplade datasystem

Det samplade datasystemet i ovanstående kontinuerliga LTI-system vid de aperiodiska samplingstiderna $t_{i},i=1,2,...$ är det diskreta tidssystemet

${\mathbf {x} }(t_{i+1})=\mathbf {\Phi } (h_{i})\mathbf {x} (t_{i})+\mathbf {\Gamma } (h_{i})\mathbf {u} (t_{i})$

$\mathbf {y} (t_{i})=\mathbf {C} \mathbf {x} (t_{i})$

där $h_{i}=t_{i+1}-t_{i}$ och

$\mathbf {\Phi } (h_{i})=e^{\mathbf {A} h_{i}}$ , $\mathbf {\Gamma } (h_{i})=\int _{0}^{h_{i}}e^{\mathbf {A} s}\,ds$

Det slutliga värdet för detta system som svar på en steginmatning $\mathbf {u} (t)$ med amplitud $R$ är detsamma som slutvärdet för dess ursprungliga kontinuerliga tidssystem .

Se även

• Initial värdesats
• Z-transform
• Laplace Transform
• Abelska och Tauberiska satser

externa länkar

• https://web.archive.org/web/20101225034508/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
• http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Arkiverad 2017-12-26 på Wayback Machine : slutvärde för Laplace
• https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf : slutvärdesbevis för Z-transformers