Schamel ekvation

Schamelekvationen (S-ekvationen) är en ickelinjär partiell differentialekvation av första ordningen i tid och tredje ordningen i rymden. I likhet med en Korteweg de Vries-ekvation (KdV) beskriver den utvecklingen av en lokaliserad, koherent vågstruktur som fortplantar sig i ett icke-linjärt dispersivt medium. Den härleddes först 1973 av Hans Schamel för att beskriva effekterna av elektroninfångning i botten av potentialen hos en ensam elektrostatisk vågstruktur som rör sig med jonernas akustiska hastighet i ett tvåkomponentsplasma. Det gäller nu olika lokaliserade pulsdynamik som:

• elektron- och jonhål eller fasrymdvirvlar i kollisionsfria plasma som rymdplasma,
• axisymmetrisk pulsutbredning i fysiskt förstyvade olinjära cylindriska skal,
• "Soliton"-utbredning i olinjära transmissionsledningar eller i fiberoptik och laserfysik.

Ekvationen

Schamel-ekvationen är

$\phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }})\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,$

där $\phi _{(t,x)}$ står för $\partial _{(t,x)}\phi$ . I fallet med jonakustiska solitära vågor, reflekterar parametern $b$ effekten av elektroner som fångas i botten av den elektrostatiska potentialen $\phi$ . Den ges av ${\displaystyle b={\frac {1-\beta }{\sqrt {\pi }}}} ,$ där $\beta$ , svällningsparametern, återspeglar status för de fångade elektronerna, $\beta =0$ representerar en platt-toppad stationär fångade elektronfördelning, $\beta <0$ en dipp eller depression. Den håller ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \psi \ll 1} ,$ där $\psi$ är vågamplituden. Alla kvantiteter är normaliserade: den potentiella energin genom termisk elektronenergi, hastigheten genom jonljudhastighet, tid genom invers jonplasmafrekvens och rymd med elektronens Debye-längd. Observera att för en KdV-ekvation $b{\sqrt {\phi }}$ ersätts med $\phi$ så att olinjäriteten blir bilinjär (se senare).

Solitär våglösning

Den solitära våglösningen för stationärt tillstånd, ${\displaystyle \phi (x-v_{0}t)} ,$ ges i den kommande ramen av:

$\phi (x)=\psi \operatörsnamn {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt { \psi }}}{30}}}x\right)$

$v_{0}=1+{\frac {8}{15}}b{\sqrt {\psi }}.$

Hastigheten på strukturen är överljud, $v_{0}>1$ , eftersom $b$ måste vara positiv, $0<b$ , vilket motsvarar jonakustiken fall till en deprimerad infångad elektronfördelning $\beta <1$ .

Bevis med pseudopotentialmetod

Beviset för denna lösning använder analogin till klassisk mekanik via $\phi _{xx}=:-{\mathcal {V}}'(\phi )$ med ${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )} ,$ som är motsvarande pseudopotential. Av detta får vi genom en integration: ${\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi ) }}=0$ , som representerar pseudoenergin, och från Schamel-ekvationen: $-{\mathcal {V }}(\phi )={\frac {(v_{0}-1)}{2}}\phi ^{2}-{\frac {4b}{15}}\phi ^{5/2}$ . Genom det uppenbara kravet, nämligen att vid potentiellt maximum, $\phi =\psi$ , försvinner lutningen $\phi _{x}$ för $\phi$ får vi: ${\mathcal {V}}(\psi )=0$ . Detta är en icke-linjär dispersionsrelation (NDR) eftersom den bestämmer fashastigheten $v_{0}$ som ges av det andra uttrycket. Den kanoniska formen av ${\mathcal {V}}(\phi )$ erhålls genom att ersätta $v_{0}$ med NDR. Det blir:

$-{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {4}{15}}b\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi } }).$

Användningen av detta uttryck i ${\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}} ,$ som följer av pseudoenergilagen, ger genom integration:

$x(\phi )={\sqrt {\frac {30}{b{\sqrt {\psi }}}}}\tanh ^{-1}\left({\sqrt {1-{\sqrt {\frac {\phi }{\psi }}}}}\höger).$

Detta är den inversa funktionen av $\phi (x)$ som ges i den första ekvationen. Observera att integralen i nämnaren för $x(\phi )$ finns och kan uttryckas med kända matematiska funktioner. Därför $\phi (x)$ en matematiskt uppenbar funktion. Strukturen förblir dock ofta matematiskt okänd, dvs den kan inte uttryckas med kända funktioner (se t.ex. Sect. Logaritmisk Schamel-ekvation). Detta händer vanligtvis om mer än ett fångstscenario är inblandat, som t.ex. i driven intermittent plasmaturbulens.

Icke-integrerbarhet

I motsats till KdV-ekvationen är Schamel-ekvationen ett exempel på en icke-integrerbar evolutionsekvation. Den har bara ett ändligt antal (polynomiska) rörelsekonstanter och klarar inte ett Painlevé-test. Eftersom ett så kallat Lax-par ( L , P ) inte existerar är det inte integrerat av den inversa spridningstransformen.

Generaliseringar

Schamel–Korteweg de Vries ekvation

Med hänsyn till nästa ordning i uttrycket för den expanderade elektrondensiteten får vi ${\displaystyle n_{e}=1+\phi -{\frac {4b}{3}}\phi ^{3/2}+{\frac {1}{2}}\phi ^{2}+\cdots } ,$ från vilken vi får pseudopotentialen - ${\mathcal {V}}(\phi )={\frac {8b}{15}} \phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }})+{\frac {1}{3}}\phi ^{2}(\psi -\phi )$ . Motsvarande evolutionsekvation blir då:

$\phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}+\phi )\phi _{ x}+\phi _{xxx}=0,$

vilket är Schamel–Korteweg de Vries-ekvationen.

Dess ensamma våglösning lyder

$\phi (x)=\psi \operatörsnamn {sech} ^{4}(y )\left[1+{\frac {1}{1+Q}}\tanh ^{2}(y)\right]^{-2}$

med $y={\frac {x}{2}}{\sqrt {\frac {\psi (1+Q)}{12}}}$ och $Q={\frac {8b}{5{\sqrt {\psi }}}}$ . Beroende på Q har den två begränsande solitära våglösningar: För $1\ll Q$ finner vi ${\displaystyle \phi (x)=\ psi \operatorname {sech} ^{4}({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x)} , ensamvågen$ Schamel.

För $1\gg Q$ får vi $\phi (x)=\psi \operatörsnamn {sech} ^{2}({ \sqrt {\frac {\psi }{12}}}x)$ som representerar den vanliga akustiska jonsolitonen. Den senare är vätskeliknande och uppnås för $b=0$ eller $\beta =1$ som representerar en isotermisk elektrontillståndsekvation. Observera att frånvaron av en fångsteffekt ( b = 0) inte innebär frånvaron av fångst, ett påstående som vanligtvis är felaktigt framställt i litteraturen, särskilt i läroböcker. Så länge $\psi$ är icke-noll, finns det alltid en icke-noll-fällningsbredd $2{\sqrt {2\phi }}$ i hastighetsutrymmet för elektronfördelningsfunktionen.

Logaritmisk Schamel-ekvation

En annan generalisering av S-ekvationen erhålls i fallet med akustiska jonvågor genom att släppa in en andra infångningskanal. Genom att överväga ett ytterligare, icke-störande fångstscenario fick Schamel:

$\qquad \qquad \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}-D \ln \phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0$ ,

en generalisering som kallas logaritmisk S-ekvation. I avsaknad av kvadratroten olinjäritet, $b=0$ , löses det med en gaussisk hållösning: $\phi (x)= \psi e^{Dx^{2}/4}$ med $D<0$ och har en överljudsfashastighet $v_ {0}=1+D(\ln \psi -3/2)>1$ . Motsvarande pseudopotential ges av $-{\mathcal {V}}(\phi )=D{\frac {\phi ^{2}} {2}}\ln {\frac {\phi }{\psi }}$ . Av detta följer ${\displaystyle x(\phi )=2{\sqrt {-D\ln {\frac {\psi }{\phi }}}}} som$ är Gaussans omvända funktion. För ett b som inte är noll, med $D$ , kan integralen för att få $x(\phi )$ inte längre lösas analytiskt, dvs med kända matematiska funktioner. En ensam vågstruktur existerar fortfarande, men kan inte nås i en avslöjad form.

Schamelekvation med slumpmässiga koefficienter

Det faktum att elektrostatisk infångning involverar stokastiska processer vid resonans orsakade av kaotiska partikelbanor har lett till att man betraktar b i S-ekvationen som en stokastisk storhet. Detta resulterar i en stokastisk S-ekvation av Wick-typ.

Tidsfraktionell Schamel-ekvation

En ytterligare generalisering erhålls genom att ersätta den första tidsderivatan med en Riesz fraktionell derivata vilket ger en tidsfraktionerad S-ekvation. Den har applikationer t.ex. för det elektrostatiska bredbandsbruset som observeras av Vikingsatelliten.

Schamel–Schrödinger ekvation

En koppling mellan Schamel-ekvationen och den olinjära Schrödinger-ekvationen kan göras inom ramen för en Madelung-vätska. Det resulterar i Schamel-Schrödinger-ekvationen.

$i\phi _{t}+|\phi |^{1/2}\phi +\phi _{xx}=0$

och har tillämpningar inom fiberoptik och laserfysik.

Webb-länkar

• www.hans-schamel.de : ytterligare information av Hans Schamel