Scatter matris

För begreppet i kvantmekanik, se spridningsmatris .

I multivariatstatistik och sannolikhetsteori är spridningsmatrisen en statistik som används för att göra uppskattningar av kovariansmatrisen , till exempel av den multivariata normalfördelningen .

Definition

Givet n exempel på m -dimensionella data, representerade som m-för-n-matrisen, ${\displaystyle X=[\mathbf {x} _{1},\ mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]} ,$ urvalets medelvärde är

${\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n}}\summa _{j=1}^{n}\ mathbf {x} _{j}$

där $\mathbf {x} _{j}$ är den j :e kolumnen i $X$ .

Spridningsmatrisen är den m -by- m positiva halvdefinita matrisen

$\displaystyle S=\summa _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})^{T}=\summa _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _ {j}-{\overline {\mathbf {x} }})\otimes (\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})=\left(\summa _{j =1}^{n}\mathbf {x} _{j}\mathbf {x} _{j}^{T}\right)-n{\overline {\mathbf {x} }}{\overline {\ mathbf {x} }}^{T}}$

där $(\cdot)^{T}$ betecknar matristransponera , och multiplikation är med avseende på den yttre produkten . Spridningsmatrisen kan uttryckas mer kortfattat som

$S=X\,C_{n}\,X^{T}$

där $\,C_{n}$ är n -by- n centreringsmatrisen .

Ansökan

Den maximala sannolikhetsuppskattningen , givet n sampel, för kovariansmatrisen för en multivariat normalfördelning kan uttryckas som den normaliserade spridningsmatrisen

$C_{ML}={\frac {1}{n}}S.$

När kolumnerna i $X$ samplas oberoende från en multivariat normalfördelning, har $S$ en Wishart-fördelning .

Se även

• Uppskattning av kovariansmatriser
• Exempel på kovariansmatris
• Wishart distribution
• Yttre produkt — $XX^{\top }$ eller X⊗X är den yttre produkten av X med sig själv.
• Gram matris