Rosenbrock systemmatris

Inom tillämpad matematik är Rosenbrock-systemmatrisen eller Rosenbrocks systemmatris för ett linjärt tidsinvariant system en användbar representation som överbryggar stat-rymdrepresentation och överföringsfunktionsmatrisform . Det föreslogs 1967 av Howard H. Rosenbrock .

Definition

Tänk på det dynamiska systemet

${\dot {x}}=Ax+Bu,$

$y=Cx+Du.$

Rosenbrock-systemmatrisen ges av

$P(s)={\begin{pmatrix}sI-A&-B\\C&D\end{pmatrix}}.$

I det ursprungliga verket av Rosenbrock tillåts konstantmatrisen $D$ vara ett polynom i $s$ .

Överföringsfunktionen mellan ingången $i$ och utgång $j$ ges av

$g_{ij}={\frac {\begin{vmatrix}sI-A&-b_{i}\\c_{j}&d_{ij}\end{vmatrix}}{|sI-A|}}$

där $b_{i}$ är kolumnen $i$ av $B$ och $c_{j}$ är raden $j$ i ${ \displaystyle C}$ .

Baserat på denna representation utvecklade Rosenbrock sin version av PHB-testet.

Kort form

För beräkningsändamål är en kort form av Rosenbrock-systemmatrisen mer lämplig och ges av

$P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.$

Den korta formen av Rosenbrock-systemmatrisen har använts i stor utsträckning i H-oändlighetsmetoder inom kontrollteori, där den också kallas packad form; se kommandot pck i MATLAB. En tolkning av Rosenbrock System Matrix som en linjär fraktionell transformation finns i.

En av de första tillämpningarna av Rosenbrock-formen var utvecklingen av en effektiv beräkningsmetod för Kalmannedbrytning, som är baserad på pivotelementmetoden. En variant av Rosenbrocks metod är implementerad i minrealkommandot för Matlab och GNU Octave .