Riemannisk metrisk och Lie-parentes i beräkningsanatomi

Ytterligare information: LDDMM

Huvudartikel: Computational anatomy

Computational anatomy (CA) är studiet av form och form inom medicinsk bildbehandling . Studiet av deformerbara former i beräkningsanatomi bygger på högdimensionella diffeomorfismgrupper $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$ som genererar banor av formen ${\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m\mid \varphi \in \operatörsnamn {Diff} _{V}\}$ . I CA anses denna bana i allmänhet vara ett jämnt Riemann-grenrör eftersom det vid varje punkt av grenröret $m\in {\mathcal {M}}$ finns en inre produkt som inducerar normen ${ \displaystyle \|\cdot \|_{m}}$ på tangentutrymmet som varierar jämnt från punkt till punkt i formernas mångfald $m\in {\mathcal {M}}$ . Detta genereras genom att se gruppen av diffeomorfismer $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$ som ett Riemannskt grenrör med $\|\cdot \|_{ \varphi }$ , associerad med tangentrymden vid $\varphi \in \operatornamn {Diff} _{V}$ . Detta inducerar normen och metriken på omloppsbanan $m\in {\mathcal {M}}$ under åtgärden från gruppen av diffeomorfismer.

Diffeomorfismgruppen genereras som lagrangiska och euleriska flöden

Diffeomorfismerna i beräkningsanatomi genereras för att tillfredsställa Lagrangian och Eulerian specifikation av flödesfälten ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]} ,$ genererad via den vanliga differentialekvationen

${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}=\operatörsnamn {id} ;$

 

 

 

 

()

med de Euleriska vektorfälten $v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})$ i ${\mathbb { R} }^{3}$ för ${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \ varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]} ,$ med inversen för flödet ges av

${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}= -(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}=\operatörsnamn {id} ,$

 

 

 

 

()

och den $3\times 3$ jakobiska matrisen för flöden i $\mathbb {R} ^{3}$ givet som $\ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).$

För att säkerställa jämna flöden av diffeomorfismer med invers, måste vektorfälten ${\mathbb {R} }^{3}$ vara minst en gång kontinuerligt differentierbara i rymden som är modellerade som element i Hilbert-rummet $(V,\|\cdot \|_{V})$ med hjälp av Sobolevs inbäddningssatser så att varje element ${i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\ displaystyle$$(V,\| \cdot \|_{V})$ har 3-kvadratintegrerbara derivator innebär alltså bäddas in smidigt i 1-gångs kontinuerligt differentierbara funktioner. Diffeomorfismgruppen är flöden med vektorfält som är absolut integrerbara i Sobolev-normen:

$\operatorname {Diff} _{V}\doteq \{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi}}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t },\varphi _{0}=\operatörsnamn {id} ,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \}\ .$

 

 

 

 

()

Den Riemannska omloppsmodellen

Former i Computational Anatomy (CA) studeras genom användning av diffeomorf kartläggning för att etablera överensstämmelse mellan anatomiska koordinatsystem. I den här inställningen modelleras 3-dimensionella medicinska bilder som diffemorfa transformationer av något exemplar, kallat mallen $\displaystyle I_{temp}}$ , vilket resulterar i att de observerade bilderna är element i CA:s slumpmässiga omloppsmodell. . För bilder definieras dessa som $I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\ circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}$ , med för diagram som representerar undergrenar betecknade som ${ \mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m_{temp}:\varphi \in \operatörsnamn {Diff} _{V}\}$ .

Riemann-metriken

Banan för former och former i Computational Anatomy genereras av gruppåtgärden ${\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m:\varphi \ i \operatörsnamn {Diff} _{V}\}$ . Detta görs till en Riemannsk omloppsbana genom att introducera ett mått som är associerat med varje punkt och tillhörande tangentrymd. För detta definieras ett mått på gruppen som inducerar måttet på omloppsbanan. Ta som måttenhet för beräkningsanatomi vid varje element i tangentrymden $\varphi \in \operatornamn {Diff} _{V}$ i gruppen av diffeomorfismer

$\|{\dot {\varphi }}\|_{\varphi }\doteq \|{\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}\|_{V}=\|v\|_{V}$ ,

med vektorfälten modellerade att vara i ett Hilbert-utrymme med normen i Hilbert-utrymmet $(V,\|\cdot \|_{V})$ . Vi modellerar $V$ som ett reproducerande kärna Hilbert-utrymme (RKHS) definierat av en 1-1, differentialoperator $A:V\rightarrow V^{*}$ . För $\sigma (v)\doteq Av\in V^{*}$ en distribution eller generaliserad funktion, den linjära formen $(\sigma \mid w)\doteq \int _{\mathbb {R} ^{3}}\summa _{i}w_{i}(x) \sigma _{i}(dx)$ bestämmer norm:och inre produkt för $v\in V$ enl.

$\langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{ X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .$

där integralen beräknas genom integration av delar för $Av$ en generaliserad funktion $Av\in V^{*}$ dubbelrummet. Differentialoperatorn väljs så att den gröna kärnan associerad med inversen är tillräckligt jämn så att vektorfälten stöder 1-kontinuerlig derivata .

Det höger-invarianta måttet på diffeomorfismer

Metriken på gruppen av diffeomorfismer definieras av avståndet som definieras på par av element i gruppen av diffeomorfismer enl.

$d_{\operatörsnamn {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=\inf _{v_{t}}\left({\frac {1}{2}}\int _{0 }^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\ dt:\varphi _{0}=\psi ,\varphi _{1}=\varphi ,{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}\right)^{1/2}\ .$

 

 

 

 

()

Detta avstånd ger en höger-invariant måttenhet för diffeomorfometri, invariant till omparameterisering av rymden eftersom för alla $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$ ,

$d_{\operatörsnamn {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatörsnamn {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi ) .$

Lie-parentesen i gruppen diffeomorfismer

Lie -konsolen ger justeringen av hastighetstermen som är ett resultat av en störning av rörelsen i inställningen av krökta utrymmen. Genom att använda Hamiltons princip om minsta verkan härleder de optimerande flödena som en kritisk punkt för aktionsintegralen av integralen av den kinetiska energin. Lie-parentesen för vektorfält i Computational Anatomy introducerades först i Miller, Trouve och Younes. Härledningen beräknar störningen $\delta v$ på vektorfälten $v^{\varepsilon }=v+\varepsilon \delta v$ i termer av derivatan i tid av gruppstörningen justerad genom korrigeringen av Lie-parentesen för vektorfält i denna funktionsinställning som involverar den jakobiska matrisen, till skillnad från matrisgruppfallet:

$ad_{v}:V\mapsto V$ ges av $ad_{v}(w)\doteq (Dv)w-(Dw)v,v,w\in V.$

 

 

 

 

()

Bevis: Bevisande Lie-parentes av vektorfält tar en första ordningens störning av flödet vid punkten $\varphi \in \operatornamn {Diff} _{V}$ .

Lie parentes av vektorfält

Om man tar första ordningens störning ger $\varphi _{t}^{\varepsilon }\doteq (\operatörsnamn {id} +\varepsilon w)\circ \varphi =\varphi +\varepsilon w\circ \varphi$ , med fast gräns $w_{0}=w_{1}=0$ , med ${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\varepsilon }=v_{t}^ {\varepsilon }\circ \varphi _{t}^{\varepsilon },\varphi _{0}^{\varepsilon }=\operatörsnamn {id} ,\varphi _{1}^{\varepsilon }=\varphi _{1}$ , vilket ger följande två ekv:n:

• ${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\varepsilon }={\frac {d}{dt}}\varphi _{t}+\varepsilon {\frac {d} {dt}}(w_{t}\circ \varphi _{t})=v_{t}\circ \varphi _{t}+(Dw_{t})\circ \varphi _{t}v_{t} \circ \varphi _{t}+o(\varepsilon )\ .$
• ${\dot {\varphi }}_{t}^{\varepsilon }=(v_{t}+\varepsilon \delta v_{t})\circ (\varphi _{t}+\varepsilon w_{ t}\circ \varphi _{t})\simeq v_{t}\circ \varphi _{t}+\varepsilon (Dv_{t})\circ \varphi _{t}w_{t}\circ \varphi _{t}+\delta v_{t}\circ \varphi _{t}+o(\varepsilon )\ .$

Att likställa de två ovanstående ekvationerna ger störningen av vektorfältet i termer av Lie-parentesjusteringen.

Lie-parentesen ger första ordningens variation av vektorfältet med avseende på första ordningens variation av flödet.

$\delta v_{t}={\frac {d}{dt}}w_{t}-ad_{v_{t}}(w_{t})={\frac {d}{dt}}w_ {t}-((Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})\ .$

Den generaliserade Euler-Lagrange-ekvationen för måtten på diffeomorfa flöden

Huvudartiklar: Computational anatomy and Computational anatomy § Euler–Lagrange-ekvationen om formmomentum för geodetik på gruppen diffeomorfismer

Euler–Lagrange-ekvationen kan användas för att beräkna geodetiska flöden genom den grupp som ligger till grund för måtten. Handlingsintegralen för Lagrangian av den kinetiska energin för Hamiltons princip blir

$J(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\|{\dot {\varphi }}_{t}\|_{\varphi _{t}}^{2}\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\|{\dot {\varphi}}_{t}\circ \ varphi _{t}^{-1}\|_{V}^{2}\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X} A({\dot {\varphi}}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1})\cdot ({\dot {\varphi}}_{t}\circ \varphi _{t }^{-1})\,dx\,dt\ .$

 

 

 

 

()

Handlingsintegralen i termer av vektorfältet motsvarar integreringen av den kinetiska energin

$J(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\ dt\ .$

De kortaste banornas geodetiska förbindelser i omloppsbanan definieras via Hamiltons princip om minsta verkan kräver första ordningens variationer av lösningarna i beräkningsanatomins banor som är baserade på beräkning av kritiska punkter på banans metriska längd eller energi. Den ursprungliga härledningen av Euler-ekvationen associerad med det geodetiska flödet av diffeomorfismer utnyttjar den var en generaliserad funktionsekvation när $Av\in V^{*}$ är en distribution, eller generaliserad funktion, ta den första ordningsvariation av handlingsintegralen med hjälp av adjointoperatorn för Lie-parentesen ( adjoint-Lie-bracket ) ger för alla jämna $w\in V$ ,

${\frac {d}{d\varepsilon }}J(\varphi ^{\varepsilon })|_{\varepsilon =0}=\int _{0}^{1}\int _{X} Av_{t}\cdot \delta v_{t}\,dx\,dt=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \left({\frac {d} {dt}}w_{t}-((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\höger)\,dx\,dt.$

Använd hakparentesen $ad_{v}:w\in V\mapsto V$ och $ad_{v}^{*} :V^{*}\rightarrow V^{*}$ ger

${\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t} }^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\i [0,1]\ ,$

 

 

 

 

()

betydelse för alla jämna $w\in V,$

$\int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^ {*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X }Av_{t}\cdot \left((Dv_{t})w-(Dw)v_{t}\right)\,dx=0.$

Ekvation ( Euler-general ) är Euler-ekvationen när diffeomorf formmomentum är en generaliserad funktion. Denna ekvation har kallats EPDiff, Euler–Poincares ekvation för diffeomorfismer och har studerats i samband med vätskemekanik för inkompressibla vätskor med $L^{2}$ metrisk.

Riemannsk exponential för positionering

I den slumpmässiga omloppsmodellen av Computational anatomy reduceras hela flödet till det initiala tillståndet som bildar koordinaterna som kodar för diffeomorfismen, samt tillhandahåller medel för att positionera information i omloppsbanan. Detta var första termer ett geodetiskt positioneringssystem i Miller, Trouve och Younes. Från det initiala villkoret ${\displaystyle v_{0}} löser$ geodetisk positionering med avseende på Riemann-måttet för Computational anatomy för flödet av Euler–Lagrange-ekvationen. Att lösa geodetiken från initialvillkoret $v_{0}$ kallas Riemann-exponentialen, en mappning $\operatorname {Exp} _{\operatörsnamn {id } }(\cdot ):V\till \operatörsnamn {Diff} _{V}$ vid identitet till gruppen.

Riemann-exponentialen uppfyller $\operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(v_{0})=\varphi _{1}$ för initialvillkor ${\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}$ , vektorfältsdynamik ${\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]$ ,

• för klassisk ekvation på den diffeomorfa formens rörelsemängd som en jämn vektor $Av_{t}=\mu _{t}\,dx$ med ${\displaystyle \int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx\ ,w\in V} existerar Euler-ekvationen$ i klassisk mening som först härledd för densiteten:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mu _{t}+(Dv_{t})^{T}\mu _{t}+(D\mu _{t})v_{t} +(\nabla \cdot v)\mu _{t}=0\ ,\ Av_{t}=\mu _{t}\,dx;} för generaliserad ekvation, A v ∈ V$

• ∗ ${*}}$ , sedan

• $in V$

${\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ .$

Den utökas till hela gruppen, $\varphi =\operatörsnamn {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatörsnamn {Exp} _{\operatörsnamn {id} }(v_{0})\circ \varphi$ .

Variationsproblemet för att matcha eller registrera koordinatsysteminformation i beräkningsanatomi

Ytterligare information: Stor deformation av diffeomorf metrisk kartläggning

Matchning av information över koordinatsystem är central för beräkningsanatomi . Lägga till en matchande term $E:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\rightarrow R^{+}$ till aktionsintegralen i ekvationen ( Hamiltons aktionsintegral ) som representerar måländpunkten

$C(\varphi )\doteq \int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1 })\ .$

Endpoint-termen lägger till ett gränsvillkor för Euler–Lagrange-ekvationen ( EL-General ) som ger Euler-ekvationen med gränsterm. Att ta variationen ger

${\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{ t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;\\[4pt]&Av_{1}+{\frac {\partial E(\varphi ) }{\partial \varphi _{1}}}=0\end{cases}}$

• geodetiskt tillstånd

Bevis: Bevis via variationskalkylen använder störningarna från ovan och klassiska variationskalkyler.

Bevis via kalkyl för variationer med ändpunktsenergi

${\begin{aligned}&\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \left({\frac {d}{dt}}\delta \varphi _ {t}-(Dv_{t}\delta \varphi _{t}-D\delta \varphi _{t}v_{t})\right)\,dx\,dt+\int _{X}\left( {\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}\cdot \delta \varphi _{1}\,dx\right)\\[6pt]={}&-\ int _{0}^{1}\int _{X}\left({\frac {dAv_{t}}{dt}}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\ höger)\cdot \delta \varphi _{t}\,dx\,dt+\int _{X}\left(Av_{1}+{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _ {1}}}\right)\cdot \delta \varphi _{1}\,dx.\end{aligned}}$

Euler–Lagrange geodetiska ändpunktsvillkor för bildmatchning

De tidigaste algoritmerna för stora deformationsdiffeomorfa metriska kartläggningar ( LDDMM ) löste matchningsproblem associerade med bilder och registrerade landmärken. befinner sig i ett vektorrum. Den bildmatchande geodetiska ekvationen uppfyller den klassiska dynamiska ekvationen med ändpunktsvillkor. De nödvändiga förutsättningarna för geodetiken för bildmatchning har formen av den klassiska ekvationen ( EL-Classic ) av Euler–Lagrange med gränsvillkor:

$\min _{\varphi :{\dot {\varphi }}=v_{t}\circ \varphi _{t}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2 }}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{X} |I\circ \varphi _{1}^{-1}(x)-J(x)|^{2}\,dx$

• Nödvändigt geodesiskt tillstånd:

${\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_ {t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;\\[4pt]&Av_{1}=( I\circ \varphi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\end{cases}}$

Euler–Lagrange geodetiska ändpunktsförhållanden för landmärkesmatchning

Det registrerade landmärkesmatchningsproblemet uppfyller den dynamiska ekvationen för generaliserade funktioner med slutpunktsvillkor:

${\displaystyle \min _{\varphi :{\dot {\varphi }}=v_{t}\circ \varphi _{t}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\ int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\varphi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\varphi _{1}(x_{i})-y_{i}).} Nödvändiga geodetiska förhållanden$

• :

${\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0, 1]\ ,\\[4pt]&Av_{1}=\summa _{i=1}^{n}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}(y_{i}-\ varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}$

Bevis:

Variationen ${\frac {\partial }{\partial \varphi }}E(\varphi )$ kräver variation av inversen $\varphi ^{-1}$ generaliserar matrisstörningen av inversen via $(\psivare \delta \varphi \circ \varphi )\circ (\varphi ^{-1}+\varepsilon \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1})=\operatörsnamn {id} +o( \varepsilon )$ ger $\delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1}=-(D\ varphi _{1}^{-1})\delta \varphi$ ger

${\begin{aligned}&{\frac {d}{d\varepsilon }}{\frac {1}{2}}\left.\int _{X}|I\circ (\varphi ^{ -1}+\varepsilon \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1})-J|^{2}\,dx\right|_{\varepsilon =0}\\[6pt] ={}&\int _{X}(I\circ \varphi ^{-1}-J)\nabla I|_{\varphi ^{-1}}(-D\varphi _{1}^{- 1})\delta \varphi \,dx\\[6pt]={}&-\int _{X}(I\circ \varphi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\delta \varphi \,dx.\end{aligned}}$