Reflexiv operatoralgebra

I funktionell analys är en reflexiv operatoralgebra A en operatoralgebra som har tillräckligt med invarianta delrum för att karakterisera den. Formellt A reflexiv om den är lika med algebra av gränsade operatorer som lämnar invariant varje delrum som lämnas invariant av varje operator i A .

Detta bör inte förväxlas med ett reflexmässigt utrymme .

Exempel

Nestalgebror är exempel på reflexiva operatoralgebror. I ändliga dimensioner är dessa helt enkelt algebror för alla matriser av en given storlek vars poster som inte är noll ligger i ett övre triangulärt mönster.

Faktum är att om vi fixar något mönster av poster i en n gånger n matris som innehåller diagonalen, så bildar mängden av alla n gånger n matriser vars poster som inte är noll i detta mönster en reflexiv algebra.

Ett exempel på en algebra som inte är reflexiv är mängden 2 × 2 matriser

$\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}.$

Denna algebra är mindre än Nest-algebra

$\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\ :\ a,b,c\in \mathbb {C} \right\}$

men har samma invarianta delrum, så det är inte reflexivt.

Om T är en fast n gånger n matris så bildar mängden av alla polynom i T och identitetsoperatorn en enhetlig operatoralgebra. En sats från Deddens och Fillmore säger att denna algebra är reflexiv om och endast om de två största blocken i Jordans normalform av T skiljer sig åt i storlek med högst ett. Till exempel algebra

$\left\{{\begin{pmatrix}a&b&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}$

som är lika med mängden av alla polynom i

$T={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

och identiteten är reflexiv.

Hyperreflexivitet

Låt ${\mathcal {A}}$ vara en svag*-sluten operatoralgebra som ingår i B ( H ), mängden av alla avgränsade operatorer på ett Hilbertrum H och för T vilken operator som helst i B ( H ), låta

$\beta (T,{\mathcal {A}})=\sup \left\{\left\|P^{\perp }TP\right\|\ :\ P{\mbox{ är en projektion och }}P^{\perp }{\mathcal {A}}P=(0)\right\}.$

Observera att P är en projektion involverad i detta supremum precis om området för P är ett invariant delrum av ${\mathcal {A}}$ .

Algebra ${\mathcal {A}}$ är reflexiv om och endast om för varje T i B ( H ):

$\beta (T,{\mathcal {A}})=0{\mbox{ antyder att }}T{\mbox{ är i }}{\mathcal {A}}.$

Vi noterar att för alla T i B(H) är följande olikhet uppfylld:

$\beta (T,{\mathcal {A}})\leq {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}}).$

Här är ${\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})$ avståndet för T från algebra, nämligen den minsta normen för en operator TA där A kör över algebra. Vi kallar ${\mathcal {A}}$ hyperreflexiv om det finns en konstant K så att för varje operator T i B ( H ),

${\mbox{avstånd}}(T,{\mathcal {A}})\leq K\beta (T,{\mathcal {A}}).$

Den minsta sådan K kallas avståndskonstanten för ${\mathcal {A}}$ . En hyperreflexiv operatoralgebra är automatiskt reflexiv.

I fallet med en reflexiv algebra av matriser med poster som inte är noll specificerade av ett givet mönster, kan problemet med att hitta avståndskonstanten omformuleras som ett matrisfyllningsproblem: om vi fyller posterna i mönstrets komplement med godtyckliga poster, vilket val av poster i mönstret ger den minsta operatörsnormen?

Exempel

• Varje änddimensionell reflexiv algebra är hyperreflexiv. Det finns dock exempel på oändligt dimensionella reflexiva operatoralgebror som inte är hyperreflexiva.
• Avståndskonstanten för en endimensionell algebra är 1.
• Nestalgebror är hyperreflexiva med avståndskonstant 1.
• Många von Neumann algebror är hyperreflexiva, men det är inte känt om alla är det.
• En typ I von Neumann-algebra är hyperreflexiv med avståndskonstant som högst 2.

Se även

• Invariant delrum
• delrumsgitter
• reflexivt delrumsgitter
• bo algebra

•   William Arveson, Tio föreläsningar om operatoralgebras , ISBN 0-8218-0705-6
•   H. Radjavi och P. Rosenthal, Invariant Subspaces , ISBN 0-486-42822-2