Rayleighs kvot i vibrationsanalys

Rayleighs kvot representerar en snabb metod för att uppskatta den naturliga frekvensen för ett vibrationssystem med flera frihetsgrader, där massan och styvhetsmatriserna är kända.

Egenvärdesproblemet för ett generellt formsystem

$$M\,{\ddot {\textbf {q}}}(t)+C\,{\ punkt {\textbf {q}}}(t)+K\,{\textbf {q}}(t)={\textbf {Q}}(t)$$

i frånvaro av dämpning och yttre krafter minskar till

$$M\,{\ddot {\textbf {q}}}(t)+K\,{\textbf {q}}(t)=0$$

Den föregående ekvationen kan också skrivas som följande:

$$K\,{\textbf {u}}=\lambda \,M\,{\textbf {u}}$$

där $\lambda =\omega ^{2}$ , där $\omega$ representerar den naturliga frekvensen, M och K är de reella positiva symmetriska massa- respektive styvhetsmatriserna.

För ett n -frihetsgradssystem har ekvationen n lösningar $\lambda _{m}$ , ${\textbf {u}}_{m}$ som uppfyller ekvationen

$$K\,{\textbf {u}}_{m}=\lambda _{m}\,M\,{\textbf {u}}_{m}$$

Genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med ${\textbf {u}}_{m}^{T}$ och dividera med skalären ${\displaystyle {\textbf {u} }_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}, är det$ möjligt att uttrycka egenvärdesproblemet enligt följande:

$$\lambda _{m}=\omega _{m}^{2}={\frac {{\textbf {u} }_{m}^{T}\,K\,{\textbf {u}}_{m}}{{\textbf {u}}_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}}$$

för m = 1, 2, 3, ..., n .

I den föregående ekvationen är det också möjligt att observera att täljaren är proportionell mot den potentiella energin medan nämnaren visar ett mått på den kinetiska energin. Dessutom tillåter ekvationen oss att beräkna egenfrekvensen endast om egenvektorn (liksom någon annan förskjutningsvektor) ${\textbf {u}}_{m}$ är känd. För akademiska intressen, om de modala vektorerna inte är kända, kan vi upprepa den föregående processen men med $\lambda =\omega ^{2}$ och ${\textbf {u}}$ ersätter $\lambda _{m}=\omega _{m}^{2}$ och ${\textbf {u}}_{m}$ , respektive. Genom att göra det får vi skalären ${\displaystyle R({\textbf {u}})} ,$ även känd som Rayleighs kvot:

$$R({\textbf {u}})=\lambda =\omega ^{2}={\frac {{\textbf { u}}^{T}\,K\,{\textbf {u}}}{{\textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}$$

Därför är Rayleighs kvotient en skalär vars värde beror på vektorn ${\textbf {u}}$ och den kan beräknas med god approximation för vilken godtycklig vektor som helst ${\textbf {u}}$ så länge den ligger någorlunda långt från modalvektorerna ${\displaystyle {\textbf {u}}_{i}} ,$ i = 1,2,3,..., n .

Eftersom det är möjligt att ange att vektorn ${\textbf {u}}$ skiljer sig från den modala vektorn ${\textbf {u}}_{m}$ med en liten mängd första ordning, kommer det korrekta resultatet av Rayleighs kvot att skilja sig inte känsligt från den uppskattade och det är det som gör denna metod mycket användbar. Ett bra sätt att uppskatta den lägsta modala vektorn ${\displaystyle (u_{1})} ,$ som i allmänhet fungerar bra för de flesta strukturer (även om det inte är garanterat), är att anta ( $\displaystyle ( u_{1})}$ lika med den statiska förskjutningen från en applicerad kraft som har samma relativa fördelning av de diagonala massmatristermerna. Det senare kan belysas med följande 3-DOF-exempel.

Exempel – 3DOF

Som ett exempel kan vi betrakta ett system med 3 frihetsgrader där massan och styvhetsmatriserna för dem är kända enligt följande:

$$M={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}}\;, \quad K={\begin{bmatrix}3&-1&0\\-1&3&-2\\0&-2&2\end{bmatrix}}$$

För att få en uppskattning av den lägsta egenfrekvensen väljer vi en försöksvektor för statisk förskjutning som erhålls genom att belasta systemet med en kraft som är proportionell mot massorna:

$${\textbf {F}}=k{\begin{bmatrix}m_{1}\\m_{2}\\m_{ 3}\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}1\\1\\3\end{bmatrix}}$$

Således kommer försöksvektorn att bli

$${\textbf {u}}=K^{-1}{\textbf {F}}={\begin{bmatrix}2.5\\6.5\\8 \end{bmatrix}}$$

som tillåter oss att beräkna Rayleighs kvot:

$$R={\frac {{\textbf {u}}^{T}\,K\,{\textbf {u}}}{{\ textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}=\cdots =0.137214$$

Således är den lägsta egenfrekvensen, beräknad med hjälp av Rayleighs kvot:

$$w_{\text{Ray}}=0,370424$$

Att använda ett beräkningsverktyg går ganska snabbt att verifiera hur mycket det skiljer sig från det "riktiga". I det här fallet, med MATLAB, har det beräknats att den lägsta egenfrekvensen är: $w_{\text{real}}=0,369308$ vilket har lett till ett fel på $0,302315\$ med Rayleighs uppskattning, det är ett anmärkningsvärt resultat.

Exemplet visar hur Rayleighs kvot kan få en exakt uppskattning av den lägsta egenfrekvensen. Bruket att använda den statiska förskjutningsvektorn som en försöksvektor är giltig eftersom den statiska förskjutningsvektorn tenderar att likna det lägsta vibrationsläget.