Rayleigh problem

Inom vätskedynamik är Rayleigh-problemet även känt som Stokes första problem ett problem med att bestämma flödet som skapas av en plötslig rörelse av en oändligt lång platta från vila, uppkallad efter Lord Rayleigh och Sir George Stokes . Detta anses vara ett av de enklaste ostadiga problemen som har en exakt lösning för Navier-Stokes ekvationer . Impulsrörelsen hos semi-oändlig platta studerades av Keith Stewartson .

Flödesbeskrivning

Betrakta en oändligt lång platta som plötsligt bringas att röra sig med konstant hastighet $U$ i $x$ -riktningen, som ligger vid $y=0$ i en oändlig vätskedomän, som är i vila till en början överallt. De inkompressibla Navier-Stokes-ekvationerna reduceras till

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{ 2}}}$

där $\nu$ är den kinematiska viskositeten . Det ursprungliga och halkfria skicket på väggen är

$u(y,0)=0,\quad u(0,t>0)=U, \quad u(\infty ,t>0)=0,$

det sista villkoret beror på att rörelsen vid $y=0$ inte känns i oändligheten. Flödet beror endast på plattans rörelse, det finns ingen pålagd tryckgradient.

Självliknande lösning

Problemet på det hela taget liknar det endimensionella värmeledningsproblemet. Därför kan en självliknande variabel införas

$\eta ={\frac {y}{\sqrt {\nu t}}},\quad f(\eta )={\frac {u} {U}}$

Genom att ersätta denna med den partiella differentialekvationen reduceras den till en vanlig differentialekvation

$f''+{\frac {1}{2}}\eta f'=0$

med randvillkor

$f(0)=1,\quad f(\infty )=0$

Lösningen på ovanstående problem kan skrivas i termer av kompletterande felfunktion

$u=U\mathrm {erfc} \left({\frac {y}{\sqrt {4\nu t}}}\right)$

Kraften per ytenhet som utövas på plattan är

$F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y= 0}=-\rho {\sqrt {\frac {\nu U^{2}}{\pi t}}}$

Godtycklig väggrörelse

Istället för att använda ett steggränsvillkor för väggens rörelse, kan väggens hastighet bestämmas som en godtycklig funktion av tiden, dvs $U=f(t)$ . Då ges lösningen av

$u(y,t)=\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{2{\sqrt {\pi \nu }}}}{\frac {y} {(t-\tau )^{3/2}}}e^{-{\frac {y^{2}}{4\nu (t-\tau )}}}d\tau .$

Rayleighs problem med cylindrisk geometri

Roterande cylinder

Betrakta en oändligt lång cylinder med radie $a$ börjar rotera plötsligt vid tidpunkten $t=0$ med en vinkelhastighet $\Omega$ . Då ges hastigheten i ${\displaystyle \theta } riktningen av$

$v_{\theta }={\frac {a \Omega }{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{1}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{ 1}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}$

där $K_{1}$ är den modifierade Bessel-funktionen av det andra slaget. Som $t\rightarrow \infty$ närmar sig lösningen den för en stel virvel. Kraften per ytenhet som utövas på cylindern är

$F=\mu \ vänster({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {v_{\theta }}{r}}\right)_{r=a}={\frac {\ rho a^{2}\Omega }{t}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\nu t}}}I_{0}\left({\frac {a^{2 }}{2\nu t}}\right)-2\mu \Omega$

där $I_{0}$ är den modifierade Bessel-funktionen av det första slaget.

Glidcylinder

Exakt lösning är också tillgänglig när cylindern börjar glida i axiell riktning med konstant hastighet $U$ . Om vi ​​anser att cylinderaxeln är i $x$ -riktning, så ges lösningen av

$u={\frac {U}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{0}(r{\sqrt {s/\ nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}.$

Se även

• Stokes problem