Rayleigh–Lorentz pendel

Rayleigh–Lorentz pendel (eller Lorentz pendel ) är en enkel pendel , men utsatt för en långsamt varierande frekvens på grund av en yttre verkan (frekvensen varieras genom att variera pendellängden), uppkallad efter Lord Rayleigh och Hendrik Lorentz . Detta problem låg till grund för begreppet adiabatiska invarianter inom mekaniken. På grund av den långsamma variationen av frekvensen visar det sig att förhållandet mellan medelenergi och frekvens är konstant.

Historia

Pendelproblemet formulerades först av Lord Rayleigh 1902, även om vissa matematiska aspekter har diskuterats tidigare av Léon Lecornu 1895. Omedveten om Rayleighs arbete, vid den första Solvay-konferensen 1911, föreslog Hendrik Lorentz en fråga: Hur fungerar en enkel pendel beter sig när längden på den upphängande tråden gradvis förkortas? , för att klargöra kvantteorin vid den tiden. På det Albert Einstein dagen efter genom att säga att både energi och frekvens hos kvantpendeln förändras så att deras förhållande är konstant, så att pendeln är i samma kvanttillstånd som initialtillståndet. Dessa två separata verk utgjorde grunden för begreppet adiabatisk invariant , som fann tillämpningar inom olika områden och gammal kvantteori . 1958 Subrahmanyan Chandrasekhar för problemet och studerade det så att ett förnyat intresse för problemet skapades, för att sedan studeras av många andra forskare som John Edensor Littlewood etc.

Matematisk beskrivning

Ekvationen för den enkla harmoniska rörelsen med frekvensen $\omega$ för förskjutningen $x(t)$ ges av

$${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0.$$

Om frekvensen är konstant ges lösningen helt enkelt av $x=A\cos(\omega t+\phi )$ . Men om frekvensen tillåts variera långsamt med tiden ${\displaystyle \omega =\omega (t)} ,$ eller exakt, om den karakteristiska tidsskalan för frekvensvariationen är mycket mindre än tidsperioden för svängning, dvs.

$$\left|{\frac {1}{\omega }}{\frac {d\omega }{dt}}\right|\ll \omega ,$$

då kan man visa det

$${\frac {\bar {E}}{\omega }}={\text{konstant}},$$

där ${\bar {E}}$ är medelenergin i medeltal över en svängning. Eftersom frekvensen förändras med tiden på grund av yttre påverkan, håller inte energibevarandet längre och energin över en enda svängning är inte konstant. Under en svängning ändras frekvensen (men långsamt), så även dess energi. För att beskriva systemet definierar man därför medelenergin per massenhet för en given potential $V(x;\omega )$ enligt följande

$${\bar {E}}={\frac {\displaystyle \oint dt\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+V(x(t);\omega (t))\right]}{ \displaystyle \oint dt}}$$

där den slutna integralen anger att den tas över en fullständig svängning. Definierat på detta sätt kan det ses att medelvärdesbildningen görs, och viktar varje element i omloppsbanan med den bråkdel av tid som pendeln tillbringar i det elementet. För enkel harmonisk oscillator minskar den till

$${\bar {E}}={\tfrac {1}{2}}A^{2}\omega ^{2}$$

där både amplituden och frekvensen nu är funktioner av tiden.