Raikovs teorem

Raikovs teorem, uppkallad efter den ryske matematikern Dmitrii Abramovich Raikov , är ett resultat i sannolikhetsteorin . Det är välkänt att om var och en av två oberoende slumpvariabler ξ ₁ och ξ ₂ har en Poisson-fördelning , så har deras summa ξ=ξ ₁ +ξ ₂ också en Poisson-fördelning. Det visar sig att det omvända också är giltigt.

Uttalande av satsen

Antag att en stokastisk variabel ξ har Poissons fördelning och medger en nedbrytning som en summa ξ=ξ ₁ +ξ ₂ av två oberoende stokastiska variabler. Då är fördelningen av varje summa en förskjuten Poissons fördelning.

Kommentar

Raikovs teorem liknar Cramérs nedbrytningssats . Det senare resultatet hävdar att om en summa av två oberoende stokastiska variabler har normalfördelning, så är varje summa också normalfördelad. Det bevisades också av Yu.V.Linnik att en faltning av normalfördelning och Poissons fördelning har en liknande egenskap (Linniks sats [ .

En utökning till lokalt kompakta Abelia-grupper

Låt $X$ vara en lokalt kompakt Abelisk grupp. Beteckna med $M^{1}(X)$ faltningssemigruppen av sannolikhetsfördelningar på $X$ , och med $E_{x}$ den degenererade fördelningen koncentrerad till $x\in X$ . Låt $x_{0}\in X,\lambda >0$ .

Poissonfördelningen som genereras av måttet $\lambda E_{x_{0}}$ definieras som en förskjuten fördelning av formen

$\mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{ 2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\ldots ).$

En har följande

Raikovs sats om lokalt kompakta Abelska grupper

Låt $\mu$ vara Poisson-fördelningen som genereras av måttet $\lambda E_{x_{0}}$ . Antag att $\mu =\mu _{1}*\mu _{2}$ , med $\mu _{j}\in M^{1}(X)$ . Om $x_{0}$ antingen är ett element i oändlig ordning, eller har ordning 2, så är $\mu _{j}$ också en Poisson-fördelning. Om $x_{0}$ är ett element av ändlig ordning $n\neq 2$ , kan $\mu _{j}$ misslyckas med att vara en Poisson-fördelning .