Racetrack princip

I kalkyl beskriver racerbanprincipen rörelsen och tillväxten av två funktioner i termer av deras derivator .

Denna princip härrör från det faktum att om en häst som heter Frank Fleetfeet alltid springer snabbare än en häst som heter Greg Gooseleg, då om Frank och Greg startar ett lopp från samma plats och samma tid, så kommer Frank att vinna. Mer kort, hästen som startar snabbt och håller sig snabb vinner.

I symboler:

om $f'(x)>g'(x)$ för alla $x>0$ , och om ${\ displaystyle f(0)=g(0)}$ , sedan $f(x)>g(x)$ för alla $x>0$ .

eller genom att ersätta ≥ för > produceras satsen

om $f'(x)\geq g'(x)$ för alla $x>0$ , och om ${ \displaystyle f(0)=g(0)}$ , sedan $f(x)\geq g(x)$ för alla $x\geq 0$ .

som kan bevisas på liknande sätt

Bevis

Denna princip kan bevisas genom att betrakta funktionen h(x) = f(x) - g(x). Om vi ​​skulle ta derivatan skulle vi märka det för x>0

$h'=f'-g'>0.$

Lägg även märke till att h(0) = 0. Genom att kombinera dessa observationer kan vi använda medelvärdessatsen på intervallet [0, x] och få

$h'(x_{0})={\frac {h(x) -h(0)}{x-0}}={\frac {f(x)-g(x)}{x}}>0.$

Genom antagande, $x>0$ , så att multiplicera båda sidor med $x$ ger f(x) - g(x) > 0. Detta innebär f(x) > g(x).

Generaliseringar

Påståendet om racerbanans princip kan generaliseras något enligt följande;

om $f'(x)>g'(x)$ för alla $x>a$ , och om $f(a)=g(a)$ , sedan $f(x)>g(x)$ för alla $x>a$ .

som ovan ger satsen genom att ersätta ≥ för >

om $f'(x)\geq g'(x)$ för alla $x>a$ , och om $f(a)=g(a)$ , sedan $f(x)\geq g(x)$ för alla $x> a$ .

Bevis

Denna generalisering kan bevisas från racerbanans princip enligt följande:

Betrakta funktionerna $f_{2}(x)=f(xa)$ och $g_{2} (x)=g(xa)$ . Givet att $f'(x)>g'(x)$ för alla $x>a$ och $f(a)=g(a)$ ,

$f_{2}'(x)>g_{2}'(x)$ för alla $x>0$ och ${\displaystyle f_{2}(0)=g_{2}(0)} ,$ vilket med beviset för racerbanans princip ovan betyder $f_{2}(x)>g_{2}(x)$ för alla $x>0$ så $f(x)>g(x)$ för alla $x>a$ .

Ansökan

Racetrackprincipen kan användas för att bevisa ett lemma som är nödvändigt för att visa att exponentialfunktionen växer snabbare än någon effektfunktion. Det lemma som krävs är det

$e^{x}>x$

för alla verkliga $x$ . Detta är uppenbart för $x<0$ men racerbanans princip krävs för $x>0$ . För att se hur det används överväger vi funktionerna

$f(x)=e^{x}$

och

$g(x)=x+1.$

Lägg märke till att $f(0)=g(0)$ och att

$e^{x}>1$

eftersom exponentialfunktionen alltid ökar ( monoton ) så $f'(x)>g'(x)$ . Således enligt racerbanans princip $f(x)>g(x)$ . Således,

$e^{x}>x+1>x$

för alla $x>0$ .

• Deborah Hughes-Hallet, et al., Calculus .