Räckvidd för en projektil

Banan för denna projektil som avfyras från en höjd y ₀ har en räckvidd d.

Inom fysiken kommer en projektil som avfyras med specifika initiala förhållanden att ha en räckvidd . Det kan vara mer förutsägbart att anta en platt jord med ett enhetligt gravitationsfält och inget luftmotstånd .

Följande gäller för avstånd som är små jämfört med jordens storlek. För längre avstånd se sub-orbital rymdfärd . Det maximala horisontella avståndet som projektilen tillryggalägger, utan luftmotstånd, kan beräknas enligt följande:

$d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \ theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)$

var

• d är det totala horisontella avståndet som projektilen tillryggalagt.
• v är den hastighet med vilken projektilen avfyras
• g är gravitationsaccelerationen — vanligtvis tagen till 9,81 m/s ² (32 f/s ² ) nära jordens yta
• θ är vinkeln med vilken projektilen avfyras
• y ₀ är projektilens initiala höjd

Om y ₀ tas till noll, vilket betyder att föremålet skjuts upp på plan mark, kommer projektilens räckvidd att förenklas till:

$d={\frac {v^{2}}{g}}\sin 2\theta$

Idealisk projektilrörelse

Ideal projektilrörelse säger att det inte finns något luftmotstånd och ingen förändring i gravitationsaccelerationen . Detta antagande förenklar matematiken avsevärt, och är en nära approximation av faktiska projektilrörelser i fall där de tillryggalagda avstånden är små. Idealisk projektilrörelse är också en bra introduktion till ämnet innan du lägger till komplikationerna med luftmotstånd.

Avledningar

En utskjutningsvinkel på 45 grader förskjuter projektilen längst horisontellt. Detta beror på naturen hos räta trianglar. Dessutom, från ekvationen för intervallet:

$d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}$

Vi kan se att intervallet blir maximalt när värdet på $\sin 2\theta$ är som högst (dvs när det är lika med 1). Det är klart att $2\theta$ måste vara 90 grader. Det vill säga, $\theta$ är 45 grader.

Platt mark

Räckvidd för en projektil (i rymden ).

Först undersöker vi fallet där ( y ₀ ) är noll. Projektilens horisontella läge är

$x(t)=vt\cos \theta$

I vertikal riktning

$y(t)=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Vi är intresserade av den tidpunkt då projektilen återgår till samma höjd som den uppstod. Låt t _g vara vilken tid som helst när projektilens höjd är lika med dess initiala värde.

$0=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Genom att faktorisera:

$t=0$

eller

$t={\frac {2v\sin \theta }{g}}$

men t = T = flygtiden

$T={\frac {2v\sin \theta }{g}}$

Den första lösningen motsvarar när projektilen först avfyras. Den andra lösningen är den användbara för att bestämma projektilens räckvidd. Att plugga in detta värde för ( t ) i den horisontella ekvationen ger

$x={\frac {2v^{2}\cos \theta \,\sin \theta }{g}}$

Tillämpa den trigonometriska identiteten

$\sin(x+y)=\sin x\,\cos y\ +\ \sin y\,\cos x$

Om x och y är samma,

$\sin 2\theta =2\sin \theta \,\cos \theta$

gör att vi kan förenkla lösningen till

$d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}$

Observera att när ( θ ) är 45° blir lösningen

$d_{\max }={\frac {v^{2}}{g}}$

Ojämn mark

Nu tillåter vi att ( y ₀ ) inte är noll. Våra rörelseekvationer är nu

$x(t)=vt\cos \theta$

och

$y(t)=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{ 2}$

Återigen löser vi för ( t ) i fallet där projektilens ( y ) position är noll (eftersom det är så här vi definierade vår starthöjd till att börja med)

$0=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Återigen genom att tillämpa den kvadratiska formeln finner vi två lösningar för tiden. Efter flera steg av algebraisk manipulation

$t={\frac {v\sin \theta }{g}}\pm {\frac {\sqrt {v^{ 2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}$

Kvadratroten måste vara ett positivt tal, och eftersom hastigheten och sinus för utskjutningsvinkeln också kan antas vara positiv, kommer lösningen med den större tiden att uppstå när plus- eller minustecknet används. Därmed är lösningen

$t={\frac {v\sin \theta }{g}}+{\frac {\sqrt {v^{2 }\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}$

Löser för sortimentet igen

$d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \ theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)$

För att maximera räckvidden på valfri höjd

$\theta =\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v ^{2}}}}$

Kontrollera gränsen när $y_{0}$ närmar sig 0

$\lim _{y_{0}\to 0}\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+ v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}={\frac {\pi }{4}}$

Islagsvinkel

Vinkeln ψ vid vilken projektilen landar ges av:

$\tan \psi ={\frac {-v_{y}( t_{d})}{v_{x}(t_{d})}}={\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{v\ cos \theta }}$

För maximal räckvidd resulterar detta i följande ekvation:

$\tan ^{2}\psi ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2} }}=C+1$

Om vi ​​skriver om den ursprungliga lösningen för θ får vi:

$\tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos ^ {2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}={\frac {1}{C +1}}$

Att multiplicera med ekvationen för (tan ψ)^2 ger:

$\tan ^{2}\psi \,\tan ^{2}\theta ={ \frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}=1$

På grund av den trigonometriska identiteten

$\tan(\theta +\psi )={\frac {\tan \theta +\tan \psi } {1-\tan \theta \tan \psi }}$ ,

detta betyder att θ + ψ måste vara 90 grader.

Faktisk projektilrörelse

Förutom luftmotståndet , som bromsar en projektil och minskar dess räckvidd, måste många andra faktorer också beaktas när den faktiska projektilrörelsen beaktas.

Projektilegenskaper

Generellt sett möter en projektil med större volym större luftmotstånd , vilket minskar projektilens räckvidd. (Och se bana för en projektil .) Luftmotståndsmotståndet kan modifieras av projektilens form: en lång och bred, men kort projektil kommer att möta större luftmotstånd än en låg och smal, men lång, projektil med samma volym. Projektilens yta måste också beaktas: en slät projektil kommer att möta mindre luftmotstånd än en med en ojämn yta, och ojämnheter på ytan av en projektil kan ändra dess bana om de skapar mer motstånd på ena sidan av projektilen än på projektilens yta . den andra. Vissa oegentligheter, såsom gropar på en golfboll, kan dock faktiskt öka dess räckvidd genom att minska mängden turbulens som orsakas bakom projektilen när den färdas. , eftersom en mer massiv projektil kommer att ha mer energi och därmed påverkas mindre av luftmotstånd. Massfördelningen inom projektilen kan också vara viktig, eftersom en ojämnt viktad projektil kan snurra oönskat och orsaka oregelbundenheter i dess bana på grund av magnuseffekten .

Om en projektil ges rotation längs dess rörelseaxlar , tenderar oregelbundenheter i projektilens form och viktfördelning att upphävas. Se rifling för en större förklaring.

Skjutvapen

För projektiler som avfyras med skjutvapen och artilleri är också arten av pistolens pipa viktig. Längre pipor gör att mer av drivmedlets energi kan ges till projektilen, vilket ger större räckvidd. Rifling , även om det kanske inte ökar det genomsnittliga ( arithmetiska medelvärdet ) avståndet för många skott från samma pistol, kommer att öka pistolens noggrannhet och precision .

Mycket stora intervall

Vissa kanoner eller haubitsar har skapats med mycket stor räckvidd.

Under första världskriget skapade tyskarna en exceptionellt stor kanon, Paris Gun , som kunde avfyra ett granat över 130 km. Nordkorea har utvecklat en pistol känd i väst som Koksan , med en räckvidd på 60 km med raketstödda projektiler. (Och se en projektils bana .)

Sådana kanoner särskiljs från raketer , eller ballistiska missiler , som har sina egna raketmotorer, som fortsätter att accelerera missilen under en period efter att de har avfyrats.

Se även

• Bana
• Kaströrelse
• Flykthastighet