Pullback (kohomologi)

I algebraisk topologi , givet en kontinuerlig karta f : X → Y av topologiska utrymmen och en ring R , är tillbakadragningen längs f på kohomologiteori en gradbevarande R -algebra-homomorfism:

$f^{*}:H^{*}(Y;R)\to H^{*}(X;R)$

från kohomologiringen av Y med koefficienter i R till den för X . Användningen av den övre skriften är avsedd att indikera dess motsatta karaktär: den vänder kartans riktning. Till exempel, om X , Y är mångfaldiga, R fältet för reella tal, och kohomologin är de Rham kohomologi , så induceras tillbakadragningen av tillbakadragningen av differentialformer .

Homotopi-invariansen för kohomologi säger att om två kartor f , g : X → Y är homotopiska till varandra, så bestämmer de samma pullback: f ^* = g ^* .

Däremot ges en push-forward för de Rham-kohomologi till exempel av integration-langs-fibrer .

Definition från kedjekomplex

Vi granskar först definitionen av kohomologin för dualen av ett kedjekomplex. Låt R vara en kommutativ ring, C ett kedjekomplex av R -moduler och G en R -modul. Precis som man låter ${\displaystyle H_{*}(C;G)=H_{*}(C\otimes _{R}G)} ,$ en låter

$H^{*}(C;G)=H^{*}(\operatörsnamn {Hom} _{R}( C,G))$

där Hom är specialfallet av Hom mellan ett kedjekomplex och ett samkedjekomplex, där G betraktas som ett samkedjekomplex koncentrerat i grad noll. (För att göra detta rigoröst måste man välja tecken på ett sätt som liknar tecknen i tensorprodukten av komplex. ) Till exempel, om C är det singulära kedjekomplexet associerat med ett topologiskt utrymme X , så är detta definitionen av singular kohomologi av X med koefficienter i G .

Låt nu f : C → C ' vara en karta över kedjekomplex (till exempel kan den induceras av en kontinuerlig karta mellan topologiska utrymmen). Sedan finns det

$f^{*}:\operatörsnamn {Hom} _{R}(C',G)\to \operatörsnamn { Hom} _{R}(C,G)$

vilket i sin tur avgör

$f^{*}:H^{*}(C';G)\to H^{*}(C;G).$

Om C , C ' är singulära kedjekomplex av utrymmen X , Y , så är detta tillbakadraget för singulära kohomologiteori.

• JP May (1999), En kortfattad kurs i algebraisk topologi .
• SP Novikov (1996), Topologi I - Allmän undersökning .