Pseudo-båge

I allmän topologi är pseudo -bågen det enklaste icke degenererade ärftligt oupplösliga kontinuumet . Pseudo-bågen är ett bågliknande homogent kontinuum och spelade en central roll i klassificeringen av homogen planar kontinuum. RH Bing bevisade att, i en viss väldefinierad mening, de flesta continua i R ⁿ , n ≥ 2, är homeomorfa till pseudo-bågen.

Historia

1920 frågade Bronisław Knaster och Kazimierz Kuratowski om ett icke degenererat homogent kontinuum i det euklidiska planet R ² måste vara en Jordan-kurva . 1921 Stefan Mazurkiewicz om ett icke degenererat kontinuum i R ² som är homeomorft till var och en av dess icke degenererade subkontinuer måste vara en båge. 1922 upptäckte Knaster det första exemplet på ett ärftligt oupplösligt kontinuum K , som senare fick namnet pseudo-bågen, vilket gav ett negativt svar på en Mazurkiewicz-fråga. År 1948 RH Bing att Knasters kontinuum är homogent, dvs för två av dess punkter finns det en homeomorfism som tar den ena till den andra. Men även 1948 Edwin Moise att Knasters kontinuum är homeomorft till var och en av dess icke-degenererade subkontinuer. På grund av dess likhet med den grundläggande egenskapen hos bågen, nämligen att vara homeomorf till alla dess icke degenererade subkontinuer, kallade Moise sitt exempel för M en pseudo-båge . Bings konstruktion är en modifiering av Moises konstruktion av M , som han först hade hört beskrivas i en föreläsning. 1951 bevisade Bing att alla ärftligt oupplösliga bågliknande kontinuer är homeomorfa — detta antyder att Knasters K , Moises M och Bings B alla är homeomorfa. Bing bevisade också att pseudo-bågen är typisk bland continua i ett euklidiskt utrymme med dimensionen minst 2 eller ett oändligt dimensionellt separerbart Hilbert-utrymme . Bing och F. Burton Jones konstruerade ett nedbrytbart plant kontinuum som tillåter en öppen karta på cirkeln, med varje punkt förbilden homeomorf till pseudo-bågen, kallad cirkeln av pseudo-bågar. Bing och Jones visade också att det är homogent. 2016 klassificerade Logan Hoehn och Lex Oversteegen alla plana homogena kontinuer, upp till en homeomorfism, som cirkeln, pseudo-bågen och cirkeln av pseudo-bågar. 2019 visade Hoehn och Oversteegen att pseudobågen topologiskt är den enda, förutom bågen, ärftligt ekvivalenta plana kontinuum, vilket ger en komplett lösning på det plana fallet med Mazurkiewiczs problem från 1921.

Konstruktion

Följande konstruktion av pseudo-bågen följer ( Wayne Lewis 1999 ) .

Kedjor

I hjärtat av definitionen av pseudo-bågen är begreppet en kedja , som definieras enligt följande:

En kedja är en ändlig samling öppna mängder

{\mathcal {C}}=\{C_{1},C_{2},\ldots ,C_ {n}\}

i ett metriskt utrymme så att

C_{i}\cap C_{j}\neq \emptyset

om och endast om

|ij|\leq 1.

Elementen i en kedja kallas dess länkar , och en kedja kallas en ε-kedja om var och en av dess länkar har en diameter mindre än ε .

Även om pseudo-bågen är den enklaste av den typ av utrymmen som anges ovan, är den faktiskt mycket komplex. Konceptet med att en kedja är krokig (definierad nedan) är det som ger pseudo-bågen dess komplexitet. Informellt kräver det att en kedja följer ett visst rekursivt sicksackmönster i en annan kedja. För att "flytta" från den m: te länken i den större kedjan till den n :e, måste den mindre kedjan först röra sig på ett krokigt sätt från den m: te länken till den ( n -1):e länken, sedan på ett krokigt sätt till ( m +1):e länken, och sedan slutligen till den n: e länken.

Mer formellt:

Låt

{\mathcal {C}}

och

{\mathcal {D}}

vara kedjor så att

varje länk av ${\mathcal {D}}$ är en delmängd av en länk av ${\displaystyle {\mathcal {C}}} ,$ och
för alla index i , j , m , och n med ${\displaystyle D_{i}\cap C_{m}\neq \emptyset } ,$ D $\displaystyle D_{ j}\cap C_{n}\neq \emptyset }$ , och $m<n-2$ , det finns index $k$ och $\ell$ med $i<k<\ell <j$ (eller $i>k>\ell >j$ ) och $D_{k}\subseteq C_{n-1}$ och $D_{\ell }\subseteq C_{m+1}.$

Då är

{\mathcal {D}}

sned i

{\mathcal {C}}.

Pseudo-båge

För valfri samling C av mängder, låt $C^{*}$ beteckna föreningen av alla elementen i C . Det vill säga låt

C^{*}=\bigcup _{S\in C}S.

Pseudo -bågen definieras enligt följande:

Låt p och q vara distinkta punkter i planet och

\left\{{\mathcal {C}}^{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }

vara en sekvens av kedjor i planet så att för varje i ,

den första länken i ${\mathcal {C}}^{i}$ innehåller p och den sista länken innehåller q ,
kedjan ${\mathcal {C}}^{i}}$ $1/2^{i}$ är en -kedja,
stängningen av varje länk av ${\mathcal {C}}^{i+1}$ är en delmängd av någon länk av ${\mathcal {C}}^{i}$ , och
kedjan ${\mathcal {C}}^{i+1}$ är krokig i ${\mathcal {C}}^{i}$ .

Låt

{\displaystyle P=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left({\mathcal {C}}^{i}\right)^{*}.} Då är P

en pseudo - båge .

Anteckningar

Bing, RH (1948), "A homogeneous indecomposable plane continuum", Duke Mathematical Journal , 15 (3): 729–742, doi : 10.1215/S0012-7094-48-01563-4
Bing, RH (1951), "Concerning hereditarily indecomposable continua", Pacific Journal of Mathematics , 1 : 43–51, doi : 10.2140/pjm.1951.1.43
Bing, RH ; Jones, F. Burton (1959), "Another homogeneous plane continuum", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (1): 171–192, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0100823-3
Henderson, George W. (1960), "Bevis på att varje kompakt nedbrytbart kontinuum som är topologiskt ekvivalent med var och en av dess icke degenererade subkontinuer är en båge", Annals of Mathematics , 2nd series, 72 (3): 421–428, doi : 10.2307 /1970224
Hoehn, Logan C.; Oversteegen, Lex G. (2016), "A complete classification of homogeneous plane continua", Acta Mathematica , 216 (2): 177–216, doi : 10.1007/s11511-016-0138-0
Hoehn, Logan C.; Oversteegen, Lex G. (2020), "A complete classification of hereditarily equivalent plane continua", Advances in Mathematics , 368 : 107131, arXiv : 1812.08846 , doi : 10.1016/j.aim.201311.
Irwin, Trevor; Solecki, Sławomir (2006), "Projective Fraïssé limits and the pseudo-arc", Transactions of the American Mathematical Society , 358 ( 7): 3077–3096, doi : 10.1090/S0002-9947-06-639288
Kawamura, Kazuhiro (2005), "On a conjecture of Wood", Glasgow Mathematical Journal , 47 (1): 1–5, doi : 10.1017/S0017089504002186
Knaster, Bronisław (1922), "Un continu dont tout sous-continu est indécomposable", Fundamenta Mathematicae , 3 : 247–286, doi : 10.4064/fm-3-1-247-286
Lewis, Wayne (1999), "The Pseudo-Arc", Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana , 5 (1): 25–77
Lewis, Wayne; Minc, Piotr (2010), "Drawing the pseudo-arc" (PDF) , Houston Journal of Mathematics , 36 : 905–934
Moise, Edwin (1948), "An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its nondegenerate subcontinua", Transactions of the American Mathematical Society , 63 ( 3): 581–594, doi : 10.1090/S0002-99330-02577-0257 -4
Nadler, Sam B., Jr. (1992), Continuum theory. An introduction , Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol. 158, Marcel Dekker, Inc., New York, ISBN 0-8247-8659-9
Rambla, Fernando (2006), "A counterexample to Wood's conjecture", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 317 (2): 659–667, doi : 10.1016/j.jmaa.2005.07.064
Rempe-Gillen, Lasse (2016), Arc-like continua, Julia uppsättningar av hela funktioner och Eremenkos förmodan , arXiv : 1610.06278