Popovicius ojämlikhet

Ej att förväxla med Popovicius ojämlikhet om varianser .

I konvex analys är Popovicius ojämlikhet en ojämlikhet om konvexa funktioner . Den liknar Jensens ojämlikhet och hittades 1965 av Tiberiu Popoviciu , en rumänsk matematiker.

Formulering

Låt f vara en funktion från ett intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ till $\mathbb {R}$ . Om f är konvex , då för alla tre punkter x , y , z i I ,

${\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\ höger)+f\vänster({\frac {z+x}{2}}\höger)\höger].$

Om en funktion f är kontinuerlig så är den konvex om och bara om ovanstående olikhet gäller för alla x , y , z från $I$ . När f är strikt konvex är olikheten strikt förutom x = y = z .

Generaliseringar

Det kan generaliseras till valfritt ändligt antal n av punkter istället för 3, taget på höger sida k åt gången istället för 2 åt gången:

Låt f vara en kontinuerlig funktion från ett intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ till $\mathbb {R}$ . Då är f konvex om och endast om, för alla heltal n och k där n ≥ 3 och $2\leq k\leq n-1$ , och alla n punkter $x_{1},\dots ,x_{n}$ från I ,

${\frac {1}{k}}{\binom {n-2}{k-2}}\left({\ frac {nk}{k-1}}\summa _{i=1}^{n}f(x_{i})+nf\left({\frac {1}{n}}\summa _{i= 1}^{n}x_{i}\right)\right)\geq \sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}f\left({\frac {1 }{k}}\summa _{j=1}^{k}x_{i_{j}}\right)$

Popovicius ojämlikhet kan också generaliseras till en viktad ojämlikhet.