Polynom konjoint mätning

Polynomkonjointmätning är en utvidgning av teorin om konjointmätning till tre eller flera attribut. Den utvecklades ursprungligen av de matematiska psykologerna David Krantz (1968) och Amos Tversky (1967). Teorin fick en omfattande matematisk utläggning i den första volymen av Foundations of Measurement (Krantz, Luce, Suppes & Tversky, 1971), som Krantz och Tversky skrev i samarbete med den matematiske psykologen R. Duncan Luce och filosofen Patrick Suppes . Krantz & Tversky (1971) publicerade också en icke-teknisk artikel om polynomisk konjointmätning för beteendevetare i tidskriften Psychological Review .

Liksom med teorin om konjoint mätning, ligger betydelsen av polynom konjoint mätning i kvantifieringen av naturliga attribut i frånvaro av sammankopplingsoperationer. Polynomkonjointmätning skiljer sig från fallet med två attribut som upptäcktes av Luce & Tukey (1964) genom att mer komplexa sammansättningsregler är inblandade.

Polynom konjoint mätning

Krantz (1968) schema

De flesta vetenskapliga teorier involverar mer än bara två attribut; och sålunda har det två variabla fallet med sammätning ganska begränsad omfattning. Dessutom, i motsats till teorin om n – komponent konjoint mätning, är många attribut icke-additiva sammansättningar av andra attribut (Krantz, et al., 1971). Krantz (1968) föreslog ett allmänt schema för att fastställa den tillräckliga uppsättningen av annulleringsaxiom för en klass av polynomkombinationsregler som han kallade enkla polynom . Den formella definitionen av detta schema som ges av Krantz, et al., (1971, s. 328) är som följer.

Låt $Y={\big \{}y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}{\big \}}$ . Mängden $S\left(Y\right)$ är den minsta uppsättningen av enkla polynom så att:

• $y_{i}\in S\left(Y\right),i=1,\ldots ,n$ ;
• $Y_{1},Y_{2}\subset Y$ så att $Y_{1}\cap Y_{2}=\varnothing ,G_{1}\in S\left(Y_{1}\right)$ och $G_{2}\in S\left(Y_{ 2}\right)$ , sedan $G_{1}+G_{2}\,$ och $G_{1}G_{2}\,$ är i $S\left(Y\right)$ .

Informellt argumenterar schemat: a) enkla attribut är enkla polynom; b) om G ₁ och G ₂ är enkla polynom som är disjunkta (dvs. inte har några gemensamma attribut), så är G ₁ + G ₂ och G ₁ $\times$ G ₂ enkla polynom; och c) inga polynom är enkla utom som ges av a) och b).

Låt A , P och U vara enskilda disjunkta attribut. Av Krantz (1968) schema följer att det finns fyra klasser av enkla polynom i tre variabler som innehåller totalt åtta enkla polynom:

• Additiv : $A+P+U\,$ ;
• Distributiv : $\left(A+P\right)U\,$ ; plus 2 andra erhållna genom att byta A , P och U ;
• Dual distribution : $AP+U\,$ plus 2 andra enligt ovan;
• Multiplikativ : $APU\,$ .

Krantz (1968) schema kan användas för att konstruera enkla polynom med större antal attribut. Till exempel, om D är en enskild variabel som är disjunkt till A, B och C så är tre klasser av enkla polynom i fyra variabler A + B + C + D, D + (B + AC) och D + ABC. Denna procedur kan användas för vilket ändligt antal variabler som helst. Ett enkelt test är att ett enkelt polynom kan "delas" i antingen en produkt eller summa av två mindre, disjunkta enkla polynom. Dessa polynom kan "delas" ytterligare tills enstaka variabler erhålls. Ett uttryck som inte går att "dela" på detta sätt är inte ett enkelt polynom (t.ex. AB + BC + AC (Krantz & Tversky, 1971)).

Axiom

Låt $A={\big \{}a,b,c,\ldots {\big \}}$ , $P={\big \{}p,q,r,\ldots {\big \}}$ och $U={\big \{}u ,v,w,\ldots {\big \}}$ vara icke-tomma och disjunkta uppsättningar. Låt " $\sccsim$ " vara en enkel ordning. Krantz et al. (1971) hävdade att fyrfalden $Z=\langle A,P,U,\succsim \rangle$ är ett polynomkonjointsystem om och endast om följande axiom gäller.

• SVAG ORDNING .
• ENKEL AVBOKNING . Relationen " $\succsim$ " uppfyller enstaka annullering på A närhelst $\left(a,p,u\right)\succsim \left (b,p,u\right)$ om och bara om $\left(a,q,v\right)\succsim \left(b, q,v\right)$ gäller för alla $a,b\in A;p,q\in P$ och $u,v\in U$ . Enkel avbokning vid P och U definieras på liknande sätt.
• DUBBEL AVBOKNING . Relationen " $\succsim$ " på $A\times P$ uppfyller dubbel annullering om och endast om för alla $a,b,c\in A$ och $p,q,r\in P$ , $\left(a,q,u\right )\succsim \left(b,p,u\right)$ och $\left(b,r,u\right)\succsim \left( c,q,u\right)$ därför $\left(a,r,u\right)\succsim \left(c,p,u\ höger)$ är sant för alla $u\in U$ . Villkoret gäller på liknande sätt för $A\times U$ och $U\times P$ .
• GEMENSAM ENKEL AVBOKNING . Relationen " $\succsim$ " på $A\times P$ uppfyller gemensam enkel annullering så att $\left( a,p,u\right)\succsim \left(b,q,u\right)$ om och bara om $\left(a,p ,v\right)\succsim \left(b,q,v\right)$ är sant för alla $a,b\in A;p,q\in P$ och $u,v\in U$ . Ledoberoende definieras på liknande sätt för $A\times U$ och $U\times P$ .
• DISTRIBUTIV AVBOKNING . Distributiv annullering gäller för $A\times P\times U$ om och endast om $\left(a,p,u \right)\succsim \left(c,r,v\right)$ , $\left(b,q,u\right)\succsim \ left(d,s,v\right)$ och $\left(d,r,v\right)\succsim \left(b,p, u\right)$ innebär $\left(a,q,u\right)\succsim \left(c,s,v\right)$ är sant för alla $a,b,c,d\in A;p,q,r,s\in P$ och $u,v\in U$ .
• DUBBEL DISTRIBUTIV AVBOKNING . Dubbel distributionsavstängning gäller för $A\times P\times U$ om och endast om

$\left(a,r,w\right)\succsim \left(c,s,v\right)$ , $\left(d,p,u\right)\succsim \left(b,t,x\right)$ , ${\displaystyle \left(d,r,x\right)\succsim \left(e,s,u\right)} och ($ c $displaystyle \left(c,t,y\right)\succsim \left(d,q,y\right)}$ innebär $\left(a,p ,v\right)\succsim \left(b,q,w\right)$ är sant för alla $a,b,c,d,e\in A;p,q,r,s,t\in P$ och $u,v,w,x,y\in U$ .

• LÖSLIGHET . Relationen " $\succsim$ " på $A\times P\times U$ är lösbar om och endast om för alla $a,b\in A;p,q\in P$ och $u,v\in U$ , det finns $c\in A;r\in P$ och $w\in U$ så att $a\sim \left(b,q,w\right)\sim \left(b,r,v\right)\sim \left(c,q,v\right)$ .
• ARKIMEDISKT SKICK .

Representationssatser

Den fyrdubbla $Z=\langle A,P,U,\succsim \rangle$ faller in i en klass av tre variabla enkla polynom i kraft av det gemensamma enkla utsläckningsaxiomet.

• Krantz, DH (1968). En undersökning av mätteori. I GB Danzig & AF Veinott (Eds.), Mathematics of the Decision Sciences , del 2 (s. 314–350). Providence, RI: American Mathematical Society.
• Krantz, DH; Luce, RD; Suppes, P. & Tversky, A. (1971). Foundations of Measurement, Vol. I: Additiva och polynomrepresentationer . New York: Academic Press.
• Krantz, DH & Tversky, A. (1971). Sammätningsanalys av kompositionsregler i psykologi. Psychological Review , 78 , 151–169.
• Luce, RD & Tukey, JW (1964). Simultan conjoint mätning: en ny skala typ av fundamental mätning. Journal of Mathematical Psychology , 1 , 1–27.
• Tversky, A. (1967). En allmän teori för polynomkonjointmätning. Journal of Mathematical Psychology , 4 , 1–20.