Poincaré-Mirandas sats

Inom matematiken är Poincaré-Miranda-satsen en generalisering av mellanvärdessatsen , från en enda funktion i en enda dimension, till n funktioner i n dimensioner. Det står så här:

Betrakta $n$ kontinuerliga funktioner av $n$ variabler, $f_{1},\ldots ,f_{n}$ . Antag att för varje variabel ${\displaystyle x_{i}} är$ funktionen $f_{i}$ konstant icke-positiv när $x_{i}=-1$ och konstant icke-negativ när $x_{i}=1$ . Sedan finns det en punkt i den $n$ -dimensionella kuben $[-1,1]^{n}$ där alla funktioner samtidigt är lika med $0$ .

Satsen är uppkallad efter Henri Poincaré , som antog det 1883, och Carlo Miranda , som 1940 visade att det motsvarar Brouwers fixpunktssats .

Intuitiv beskrivning

En grafisk representation av Poincaré-Miranda-satsen för n = 2

0000 Bilden till höger visar en illustration av Poincaré-Miranda-satsen för n = 2 funktioner. Betrakta ett par funktioner ( f , g ) vars definitionsdomän är [-1,1] ² (dvs. enhetens kvadrat). Funktionen f är negativ på vänster gräns och positiv på höger gräns (gröna sidor av kvadraten), medan funktionen g är negativ på nedre gräns och positiv på övre gräns (röda sidor av kvadraten). När vi går från vänster till höger längs någon väg måste vi gå igenom en punkt där f är . Därför måste det finnas en "vägg" som skiljer vänster från höger, längs vilken f är (grön kurva inuti kvadraten). På samma sätt måste det finnas en "vägg" som skiljer toppen från botten, längs vilken g är (röd kurva inuti kvadraten). Dessa väggar måste skära varandra i en punkt där båda funktionerna finns ( blå punkt inuti kvadraten).

Generaliseringar

Den enklaste generaliseringen, i själva verket en följd av detta teorem är följande. För varje variabel x _i , låt a _i vara vilket värde som helst i intervallet    [sup _{x i = 0} f _i , inf _{x i = 1} f _i ] . Sedan finns det en punkt i enhetskuben där för alla i :

$f_{i}=a_{i}$ .

Detta uttalande kan reduceras till det ursprungliga genom en enkel översättning av axlar ,

$x_{i}^{\prime }=x_{i}\qquad y_{i}^{ \prime }=y_{i}-a_{i}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}$

var

• x _i är koordinaterna i funktionens domän
• y _i är koordinaterna i funktionens koddomän .

Anteckningar

•     Dugundji, James ; Granas, Andrzej (2003), Fixed Point Theory , Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer-Verlag , s. xv+690, ISBN 0-387-00173-5 , MR 1987179 , Zbl 1025.4702
•     Kulpa, Wladyslaw (juni 1997), "The Poincare-Miranda Theorem", The American Mathematical Monthly , 104 (6): 545–550, doi : 10.2307 /2975081 , JSTOR 2975081 , MR 14536 .08 9436 9436 .
•     Miranda, Carlo (1940), "Un'osservazione su un teorema di Brouwer", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie 2 (på italienska), 3 : 5–7, JFM 66.0217.01 , MR 0004775 , Zbl 02024 .

externa länkar

• Ahlbach, Connor Thomas (2013). "Ett diskret förhållningssätt till Poincare-Miranda-teorem (HMC Senior Thess)" . Hämtad 18 maj 2015 .