Pochhammer kontur

En Pochhammer-kontur slingrar sig medurs runt en punkt, sedan medurs runt en annan punkt, sedan moturs runt den första punkten och sedan moturs runt den andra. Den exakta positionen, krökningen etc. är i detta fall inte väsentliga; sekvensen av lindningar runt de två speciella punkterna är.

Inom matematiken är Pochhammer-konturen , introducerad av Camille Jordan ( 1887 ) och Leo Pochhammer ( 1890 ), en kontur i det komplexa planet med två punkter borttagna, som används för konturintegrering . Om A och B är slingor runt de två punkterna, båda börjar vid någon fast punkt P , så är Pochhammer-konturen kommutatorn ABA ⁻¹ B ⁻¹ , där den upphöjda −1 betecknar en väg som tas i motsatt riktning. Med de två punkterna tagna som 0 och 1, varvid den fasta baspunkten P ligger på den reella axeln mellan dem, ett exempel är banan som börjar vid P , omger punkt 1 i moturs riktning och återgår till P , sedan omger 0 moturs och återgår till P , därefter cirkla 1 och sedan 0 medurs, innan man återgår till P . Konturens klass är en verklig kommutator när den betraktas i den fundamentala gruppen med baspunkten P för komplementet i det komplexa planet (eller Riemann-sfären ) av de två punkterna slinga. När det gäller att ta konturintegraler, gör att flytta baspunkten från P till ett annat val Q ingen skillnad på resultatet, eftersom det kommer att upphävas integraler från P till Q och tillbaka.

Homolog till noll men inte homotop till noll

Inom det dubbelpunkterade planet är denna kurva homolog med noll men inte homotop med noll. Dess lindningstal runt vilken punkt som helst är 0 trots att det inom det dubbelpunkterade planet inte kan krympas till en enda punkt.

Pochhammer-cykeln är homolog med noll: det är gränsen för det gröna området minus gränsen för det röda.

Ansökningar

Betafunktionen ges av Eulers integral

$\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1 }t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt$

förutsatt att de reella delarna av α och β är positiva, vilket kan omvandlas till en integral över Pochhammer-konturen C som

$\displaystyle (1-e^{2\pi i\alpha})(1-e^{2\pi i\beta})\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{ C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.$

Konturintegralen konvergerar för alla värden på α och β och ger sålunda den analytiska fortsättningen av betafunktionen. En liknande metod kan tillämpas på Eulers integral för att den hypergeometriska funktionen ska ge dess analytiska fortsättning.

Anteckningar

• Jordan, C. (1887), Cours d'analyse, Tome III , Gauthier-Villars
• Pochhammer, L. (1890), "Zur Theorie der Euler'schen Integrale" , Mathematische Annalen , 35 (4): 495–526, doi : 10.1007/bf02122658
•   Whittaker, ET ; Watson, GN (1963), A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2