Pletystisk substitution

Pletystisk substitution är en förkortning för en vanlig typ av substitution i algebra för symmetriska funktioner och symmetriska polynom . Det är i huvudsak grundläggande substitution av variabler, men tillåter en förändring av antalet variabler som används.

Definition

Den formella definitionen av pletystisk substitution bygger på det faktum att ringen av symmetriska funktioner $\Lambda _{R}(x_{1},x_{2},\ldots )$ genereras som en R -algebra av de symmetriska effektsummans funktioner

$p_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+x_{3}^{k}+\cdots .$

För alla symmetriska funktioner $f$ och alla formell summa av monomialer $A=a_{1}+a_{2}+\cdots$ , den pletystiska substitutionen f[A ] är den formella serien som erhålls genom att göra substitutionerna

$p_{k}\longrightarrow a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k }+\cdots$

vid nedbrytningen av $f$ som ett polynom i p _k :en.

Exempel

Om $X$ anger den formella summan $X=x_{1}+x_{2}+\cdots$ , då $f[X]=f(x_{1},x_{2},\ldots )$ .

Man kan skriva $1/(1-t)$ för att beteckna den formella summan $1+t+t^{2}+ t^{3}+\cdots$ , så den pletystiska substitutionen $f[1/(1-t)]$ är helt enkelt resultatet av att sätta $x_{i}=t^{i-1}$ för varje i. Det är,

$f\left[{\frac {1}{1-t}}\right]=f(1,t ,t^{2},t^{3},\ldots )$ .

Pletystisk substitution kan också användas för att ändra antalet variabler: om $X=x_{1}+x_{2}+\cdots ,x_{n}$ , då är $f[X]=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ motsvarande symmetriska funktion i ringen $\Lambda _{R}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ av symmetriska funktioner i n variabler.

Flera andra vanliga ersättningar listas nedan. I alla följande exempel är $X=x_{1}+x_{2}+\cdots$ och $Y=y_ {1}+y_{2}+\cdots$ är formella summor.

• Om $f$ är en homogen symmetrisk funktion av grad $d$ , då

  $f[tX]=t^ {d}f(x_{1},x_{2},\ldots )$

• Om $f$ är en homogen symmetrisk funktion av graden $d$ , då

  $f[- X]=(-1)^{d}\omega f(x_{1},x_{2},\ldots )$ ,

där $\omega$ är den välkända involutionen på symmetriska funktioner som skickar en Schur-funktion $s_{\lambda }$ till den konjugata Schur-funktionen $s_{\lambda ^{ \ast }}$ .

• Substitutionen $S:f\mapsto f[-X]$ är antipoden för Hopf- algebrastrukturen på Ringen av symmetriska funktioner .
• $p_{n}[X+Y]=p_{n}[X]+p_{n}[Y]$
• Kartan $\Delta :f\mapsto f[X+Y]$ är samprodukten för Hopf-algebrastrukturen på ringen av symmetriska funktioner.
• $h_{n}\left[X(1-t)\right]$ är den alternerande Frobenius-serien för den yttre algebra för den definierande representationen av den symmetriska gruppen, där $h_{n}$ betecknar den fullständiga homogena symmetriska funktionen av grad $n$ .
• $h_{n}\left[X/(1-t)\right]$ är Frobenius-serien för den symmetriska algebra för den definierande representationen av den symmetriska gruppen.

externa länkar

• Combinatorics, Symmetric Functions, and Hilbert Schemes (Haiman, 2002)

• M. Haiman, Combinatorics, Symmetric Functions, and Hilbert Schemes, Current Developments in Mathematics 2002 , nr. 1 (2002), s. 39–111.