Pestov–joninsatsen

En slät enkel sluten krökningskurva som högst en, och en enhetsskiva omsluten av den

Pestov –Ionins sats i differentialgeometrin för plana kurvor säger att varje enkel stängd krökningskurva som mest en omsluter en enhetsskiva .

Historia och generaliseringar

Även om en version av detta publicerades för konvexa kurvor av Wilhelm Blaschke 1916, är den uppkallad efter tysken Gavrilovich Pestov och Vladimir Kuzmich Ionin , som publicerade en version av denna sats 1959 för icke-konvex dubbelt differentierbar ( $C^{2}$ ) kurvor, de kurvor för vilka krökningen är väldefinierad vid varje punkt. Satsen har generaliserats ytterligare, till kurvor med begränsad medelkurvatur (enbart differentierbar och som uppfyller ett Lipschitz-villkor på derivatan), och till kurvor med begränsad konvex krökning (varje punkt på kurvan berör en enhetsskiva som, inom ett litet område av punkten, förblir innanför kurvan).

Ansökningar

Teoremet har tillämpats i algoritmer för rörelseplanering . I synnerhet har den använts för att hitta Dubins stigar , kortaste vägarna för fordon som bara kan röra sig framåt och som kan svänga vänster eller höger med en begränsad svängradie . Den har också använts för att planera fräsen i en fräsmaskin för fickbearbetning och för att rekonstruera kurvor från spridda datapunkter.