Partiell geometri

En incidensstruktur $C=(P,L,I)$ består av punkter $P$ , linjer $L$ och flaggor $I\subseteq P\times L$ där en punkt $p$ sägs infalla med en linje $l$ om $(p,l) \in I$ . Det är en ( ändlig ) partiell geometri om det finns heltal $s,t,\alpha \geq 1$ så att:

För vilket par av distinkta punkter $p$ och ${\displaystyle q} som helst$ , finns det högst en linje infallande med dem båda.
Varje linje infaller med $s+1$ punkter.
Varje punkt infaller med $t+1$ linjer.
Om en punkt $p$ och en linje $l$ inte är infallande, finns det exakt $\alpha$ -par $(q,m)\in I$ , så att $p$ är infallande med $m$ och $q$ är infallande med $l$ .

En partiell geometri med dessa parametrar betecknas med $pg(s,t,\alpha )$ .

Egenskaper

Antalet punkter ges av ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ och antalet linjer av ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ .
Punktgrafen (även känd som kollinearitetsgrafen ) för en $pg(s,t,\alpha )$ är en starkt regelbunden graf : $srg((s+1){\frac {(st+\ alfa )}{\alfa }},s(t+1),s-1+t(\alfa -1),\alfa (t+1))$ .
Partiella geometrier är dubbla strukturer: dualen av en $pg(s,t,\alpha )$ är helt enkelt en $pg(t ,s,\alpha )$ .

Specialfall

De generaliserade fyrkanterna är exakt de partiella geometrierna $pg(s,t,\alpha )$ med $\alpha =1$ .
Steinersystemen $S(2,s+1,ts+1)$ är just de partiella geometrierna $pg (s,t,\alpha )$ med $\alpha =s+1$ .

Generaliseringar

Ett partiellt linjärt utrymme $S=(P,L,I)$ av ordningen $s,t$ kallas en semipartial geometri om det finns heltal $\alpha \geq 1,\mu$ så att:

Om en punkt $p$ och en linje $\ell$ inte är infallande, finns det antingen $0$ eller exakt $\alpha$ par ${\ displaystyle (q,m)\in I}$ , så att $p$ är infallande med $m$ och $q$ är infallande med $\ell$ .
Varje par av icke-kollinjära punkter har exakt $\mu$ gemensamma grannar.

En semipartial geometri är en partiell geometri om och endast om $\mu =\alpha (t+1)$ .

Det kan enkelt visas att kolinearitetsgrafen för en sådan geometri är starkt regelbunden med parametrar $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t +1),s-1+t(\alfa -1),\mu )$ .

Ett bra exempel på en sådan geometri erhålls genom att ta affinpunkterna för $PG(3,q^{2})$ och endast de linjer som skär planet i oändligheten i en punkt av ett fast Baer-underplan; den har parametrar $(s,t,\alpha ,\mu )=(q ^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$ .

Se även

Brouwer, AE; van Lint, JH (1984), "Strongly regular graphs and partial geometries", i Jackson, DM; Vanstone, SA (red.), Enumeration and Design , Toronto: Academic Press, s. 85–122
Bose, RC (1963), "Stärkt regelbundna grafer, partiella geometrier och delvis balanserade mönster", Pacific J. Math. , 13 : 389–419, doi : 10.2140/pjm.1963.13.389
De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), "Some classes of rank 2 geometries", Handbook of Incident Geometry , Amsterdam: North-Holland, s. 433–475
Thas, JA (2007), "Partial Geometries", i Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (red.), Handbook of Combinatorial Designs (2nd ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, s. 557–561 , ISBN 1-58488-506-8
Debroey, I.; Thas, JA (1978), "On semipartial geometries", Journal of Combinatorial Theory, Series A , 25 : 242–250, doi : 10.1016/0097-3165(78)90016-x