Parseval–Gutzmer formel

Inom matematiken säger Parseval–Gutzmer-formeln att om $f$ är en analytisk funktion på en stängd skiva med radien r med Taylor-serien

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},$

då för z = re ^iθ på gränsen för skivan,

$\int _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{2}\,\mathrm {d} \theta =2\pi \ summa _{k=0}^{\infty }|a_{k}|^{2}r^{2k},$

som också kan skrivas som

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta})|^{2}\,\mathrm {d} \theta =\summa _{k=0}^{\infty }|a_{k}r^{k}|^{2}.$

Bevis

Cauchy Integral Formel för koefficienter anger att för ovanstående villkor:

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }^{} {\frac {f(z)}{z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z$

där γ definieras som den cirkulära banan runt ursprunget för radien r . Även för $x\in \mathbb {C} ,$ har vi: ${\overline {x}}{x}=|x|^{2}.$ Tillämpa båda dessa fakta på problemet med början med det andra:

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta}\right)\right|^{2}\ ,\mathrm {d} \theta &=\int _{0}^{2\pi}f\left(re^{i\theta}\right){\overline {f\left(re^{i\theta }\right)}}\,\mathrm {d} \theta \\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }f\left(re^{i\theta}\right)\left (\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {a_{k}\left(re^{i\theta}\right)^{k}}}\right)\,\mathrm {d } \theta &&{\text{Använda Taylor-expansion på konjugatet}}\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }f\left(re^{i\theta }\right)\ left(\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {a_{k}}}\left(re^{-i\theta}\right)^{k}\right)\,\mathrm {d} \theta \\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f\left(re^{i\theta}\right ){\overline {a_{k}}}\left(re^{-i\theta}\right)^{k}\,\mathrm {d} \theta &&{\text{Enhetlig konvergens av Taylor-serien}} \\[6pt]&=\summa _{k=0}^{\infty }\left(2\pi {\overline {a_{k}}}r^{2k}\right)\left({\frac {1}{2{\pi }i}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(re^{i\theta}\right)}{(re^{i\ theta })^{k+1}}}{rie^{i\theta }}\right)\mathrm {d} \theta \\&=\summa _{k=0}^{\infty }\left( 2\pi {\overline {a_{k}}}r^{2k}\right)a_{k}&&{\text{Tillämpa Cauchy Integral Formula}}\\&={2\pi }\summa _{k =0}^{\infty }{|a_{k}|^{2}r^{2k}}\end{aligned}}$

Ytterligare applikationer

Med den här formeln är det möjligt att visa det

$\sum _{k=0}^{\infty }|a_{k}|^{2}r^{2k}\leqslant M_{r}^{2}$

var

$M_{r}=\sup\{|f(z)|:|z|=r\}.$

Detta görs genom att använda integralen

$\int _{0}^{2\pi}\left|f\left(re^{i\theta}\right)\right|^{2}\,\mathrm {d} \theta \leqslant 2\pi \left|\max _{\theta \in [0,2\pi )}\left(f\left(re^{i\theta}\right)\right)\ höger|^{2}=2\pi \left|\max _{|z|=r}(f(z))\right|^{2}=2\pi M_{r}^{2}$

•   Ahlfors Lars (1979). Komplex analys . McGraw-Hill. ISBN 0-07-085008-9 .