Pareto-interpolation

Pareto-interpolation är en metod för att uppskatta medianen och andra egenskaper hos en population som följer en Pareto - fördelning . Det används inom ekonomin när man analyserar inkomstfördelningen i en befolkning, då man ska basera uppskattningar på ett relativt litet slumpmässigt urval taget från befolkningen.

Familjen av Pareto-distributioner parametriseras av

• ett positivt tal κ ​​som är det minsta värde som en slumpvariabel med en Pareto-fördelning kan ta. Såsom tillämpat på inkomstfördelning är κ den lägsta inkomsten för någon person i befolkningen; och
• ett positivt tal θ "Pareto-index"; när detta ökar, blir svansen av distributionen tunnare. Tillämpat på inkomstfördelning innebär detta att ju större Pareto-index θ är desto mindre blir andelen inkomster många gånger så stor som de minsta inkomsterna.

Pareto-interpolation kan användas när den tillgängliga informationen inkluderar andelen av urvalet som faller under vart och ett av två specificerade tal a < b . Till exempel kan det observeras att 45 % av individerna i urvalet har inkomster under a = 35 000 USD per år och 55 % har inkomster under b = 40 000 USD per år.

Låta

P _a = andel av provet som ligger under a ;

P _b = andel av provet som ligger under b .

Då är uppskattningarna av κ och θ

${\widehat {\kappa }}=\left({\frac {P_{ b}-P_{a}}{\left(1/a^{\widehat {\theta }}\right)-\left(1/b^{\widehat {\theta }}\right)}}\right )^{1/{\widehat {\theta }}}$

och

${\widehat {\theta }}\;=\;{\frac {\log(1-P_{a})-\log(1-P_{b})}{\log(b)-\ log(a)}}.$

Uppskattningen av medianen skulle då vara

${\mbox{uppskattad median}}={\widehat {\kappa }}\cdot 2^{1/{\widehat {\theta }}},\ ,$

eftersom den faktiska befolkningsmedianen är

${\mbox{median}}=\kappa \,2^{1/\theta }.\,$

• US Census Bureau, Memorandum om statistiska tekniker som användes i 2001 års inkomstundersökning (PDF) . Se ekvation 10 på sid. 24.
• Stults, Brian J, Härledning av medianhushållsinkomst . Ger en härledning av ekvationerna för Pareto-interpolation.