Palatini identitet

I allmän relativitetsteori och tensorkalkyl är Palatini - identiteten :

$\delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho \Gamma}(\ _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu}(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),$

där $\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }$ anger variationen av Christoffel-symboler och $\nabla _{\rho }$ indikerar kovariansdifferentiering .

Ett bevis finns i inlägget Einstein–Hilbert action .

"Samma" identitet gäller för Lie-derivatan ${\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }$ . Faktum är att man har:

${\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu} =\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L }}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),$

där $\xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }$ betecknar vilket vektorfält som helst på rymdtidsgrenröret ${\displaystyle M$ } .

Se även

• Einstein-Hilbert action
• Palatini variation
• Ricci kalkyl
• Tensorkalkyl
• Christoffel symboler
• Riemann krökningstensor

Anteckningar

•   Palatini, Attilio (1919), "Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton" [Invariant deduktion av gravitanionala ekvationer från principen om Hamilton], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 1 (på italienska), 43 : 203–203–203 , doi : 10.1007/BF03014670 , S2CID 121043319 [Engelsk översättning av R. Hojman och C. Mukku i PG Bergmann och V. De Sabbata (red.) Cosmology and Gravitation, Plenum Press, New York (1980)]
• Tsamparlis, Michael (1978), "On the Palatini method of Variation" , Journal of Mathematical Physics , 19 (3): 555–557, Bibcode : 1978JMP....19..555T , doi : 10.1063/1.523699