Ortogonala polynom på enhetscirkeln

I matematik är ortogonala polynom på enhetscirkeln familjer av polynom som är ortogonala med avseende på integration över enhetscirkeln i det komplexa planet , för något sannolikhetsmått på enhetscirkeln. De introducerades av Szegő ( 1920 , 1921 , 1939 ).

Definition

Antag att $\mu$ är ett sannolikhetsmått på enhetscirkeln i det komplexa planet, vars stöd inte är ändligt. De ortogonala polynomen associerade med $\mu$ är polynomen $\Phi _{n}(z)$ med inledande term $z^{n}$ som är ortogonala med avseende på måttet $\mu$ .

Szegő-upprepningen

Szegős upprepning säger att

$\Phi _{0}(z)=1$

$\Phi _{n+1}(z)=z\Phi _{n}(z)-{\overline {\alpha }}_{n}\Phi _{n}^{*}(z)$

var

$\Phi _{n}^{*}(z)=z^{n}{\overline {\Phi _{n} (1/{\overline {z}})}}$

är polynomet med dess koefficienter omvända och komplexa konjugerade, och där Verblunsky-koefficienterna $\alpha _{n}$ är komplexa tal med absoluta värden mindre än 1.

Verblunskys sats

Verblunskys teorem säger att varje sekvens av komplexa tal i den öppna enhetsskivan är sekvensen av Verblunsky-koefficienter för ett unikt sannolikhetsmått på enhetscirkeln med oändligt stöd.

Geronimus sats

Geronimus sats säger att Verblunsky-koefficienterna för måttet μ är Schur-parametrarna för funktionen $f$ som definieras av ekvationerna

${\frac {1+zf(z)}{1-zf(z)}}=F(z)=\int {\frac {e^{i\theta}+z}{e^{i \theta }-z}}d\mu .$

Baxters teorem

Baxters sats säger att Verblunsky-koefficienterna bildar en absolut konvergent serie om och endast om momenten för $\mu$ bildar en absolut konvergent serie och viktfunktionen $w$ är strikt positiv överallt.

Szegős sats

Szegős teorem säger att

$\prod _{n=1}^{\infty }(1-|\alpha _{n}|^{2})=\exp {\big (}\int _{0}^{2\pi }\log(w(\theta ))d\theta / 2\pi {\big )}$

där $wd\theta /2\pi$ är den absolut kontinuerliga delen av måttet $\mu$ .

Rakhmanovs teorem

Rakhmanovs teorem säger att om den absolut kontinuerliga delen $w$ av måttet $\mu$ är positiv nästan överallt så tenderar Verblunsky-koefficienterna $\alpha _{n}$ till 0.

Exempel

Rogers –Szegő-polynomen är ett exempel på ortogonala polynom på enhetscirkeln.

•    Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Ortogonala polynom på enhetscirkeln" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•    Simon, Barry (2005), Ortogonala polynom på enhetscirkeln. Del 1. Klassisk teori , American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 54, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3446-6 , MR 2105088
•    Simon, Barry (2005), Ortogonala polynom på enhetscirkeln. Del 2. Spectral theory , American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 54, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3675-0 , MR 2105089
•    Szegő, Gábor (1920), " Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen" , Mathematische Zeitschrift , 6 (3–4): 167–202, doi : 10.1007/BF01199955 , ISSN 0025-5874 0025-5874 0101C 7 , Szegő, Gábor ( 1920 ),
•    Szegő, Gábor (1921), "Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen" , Mathematische Zeitschrift , 9 (3–4): 167–190, doi : 10.1007 /BF01279027 , ISSN 0025-5874 8251C 7 , Szegő
•    Szegő, Gábor (1939), Orthogonal Polynomials , Colloquium Publications, vol. XXIII, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1023-1 , MR 0372517