Optimal uppskattning

I tillämpad statistik är optimal uppskattning en regulariserad matrisinversmetod baserad på Bayes sats . Det används mycket vanligt inom geovetenskaperna , särskilt för atmosfäriskt ljud . Ett omvänt matrisproblem ser ut så här:

$\mathbf {A} {\vec {x}}={\vec {y}}$

Det väsentliga konceptet är att transformera matrisen, A , till en betingad sannolikhet och variablerna ${\vec {x}}$ och ${\vec {y}}$ till sannolikhetsfördelningar med anta Gaussisk statistik och använda empiriskt bestämda kovariansmatriser.

Härledning

Vanligtvis förväntar man sig att statistiken för de flesta mätningar är Gaussisk . Så till exempel för ${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})} ,$ kan vi skriva:

$P({\vec {y}}|{\vec {x}})= {\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{y}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({ \boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\boldsymbol {A}}{ \vec {x}}-{\vec {y}})\right]$

där m och n är antalet element i ${\vec {x}}$ och ${\vec {y}}$ respektive ${\boldsymbol {A}}$ är matrisen som ska lösas (den linjära eller linjäriserade framåtmodellen) och ${\boldsymbol {S_{y}}}$ är kovariansmatrisen för vektorn ${\vec {y}}$ . Detta kan göras på liknande sätt för ${\vec {x}}$ :

$P({\vec {x}})={\frac {1}{ (2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x }}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_ {a}}})\right]$

Här tas $P({\vec {x}})$ för att vara den så kallade "a-priori"-fördelningen: ${\widehat {x_{a}} }$ anger a-priori-värdena för ${\vec {x}}$ medan ${\boldsymbol {S_{x_{a}}}}$ är dess kovariansmatris.

Det fina med Gaussfördelningarna är att det bara behövs två parametrar för att beskriva dem och så kan hela problemet återigen omvandlas till matriser. Om vi ​​antar att $P({\vec {x}}|{\vec {y}})$ har följande form:

$P({\vec {x}}|{\vec {y}})={\ frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{x}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x}})\ höger]$

$P({\vec {y}})$ kan försummas eftersom det för ett givet värde på ${\vec {x}}$ helt enkelt är en konstant skalningsterm . Nu är det möjligt att lösa både förväntningsvärdet för ${\vec {x}}$ , ${\widehat {x}}$ och för dess kovariansmatris genom att likställa $P({\vec {x}}|{\vec {y}})$ och $P({\vec { y}}|{\vec {x}})P({\vec {x}})$ . Detta ger följande ekvationer:

${\boldsymbol {S_{x}}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol { S_{y}^{-1}}}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}^{-1}}})^{-1}$

${\widehat {x}}={\widehat {x_{a}}}+{\boldsymbol {S_{x}}} {\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\vec {y}}-{\boldsymbol {A}}{\widehat {x_{a} }})$

Eftersom vi använder Gausser, är det förväntade värdet ekvivalent med det maximala sannolika värdet, och så är detta också en form av maximal sannolikhetsuppskattning .

Vanligtvis med optimal uppskattning, utöver vektorn för hämtade kvantiteter, returneras en extra matris tillsammans med kovariansmatrisen. Detta kallas ibland upplösningsmatrisen eller medelvärdeskärnan och beräknas enligt följande:

${\boldsymbol {R}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{ \boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1})^{-1}{\boldsymbol { A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}$

Detta talar om för oss, för ett givet element av den hämtade vektorn, hur mycket av de andra elementen i vektorn som blandas in. I fallet med en hämtning av profilinformation indikerar det typiskt höjdupplösningen för en given höjd. Till exempel om upplösningsvektorerna för alla höjder innehåller icke-noll element (till en numerisk tolerans) i sina fyra närmaste grannar, då är höjdupplösningen bara en fjärdedel av den faktiska rutnätsstorleken.

• Clive D. Rodgers (1976). "Hämtning av atmosfärisk temperatur och sammansättning från fjärrmätningar av termisk strålning". Recensioner av geofysik och rymdfysik . 14 (4): 609. doi : 10.1029/RG014i004p00609 .

• Clive D. Rodgers (2000). Omvända metoder för atmosfäriskt ljud: teori och praktik . World Scientific.

• Clive D. Rodgers (2002). "Atmosfärisk fjärranalys: det omvända problemet". Proceedings of the Fourth Oxford/RAL Spring School in Quantitative Earth Observation . Oxfords universitet.