Ojämlikhet mellan Erdős och Turán

Inom matematiken begränsar Erdős–Turán-ojämlikheten avståndet mellan ett sannolikhetsmått på cirkeln och Lebesguemåttet , i termer av Fourier-koefficienter . Det bevisades av Paul Erdős och Pál Turán 1948.

Låt μ vara ett sannolikhetsmått på enhetscirkeln R / Z . Ojämlikheten mellan Erdős och Turán säger att för alla naturliga tal n ,

$\sup _{A}\left|\mu (A)-\mathrm {mes} \,A\right| \leq C\left({\frac {1}{n}}+\summa _{k=1}^{n}{\frac {|{\hat {\mu }}(k)|}{k} }\höger),$

där det högsta är över alla bågar A ⊂ R / Z i enhetscirkeln, står mes för Lebesgue-måttet,

${\hat {\mu }}(k)=\int \exp(2\pi ik\theta )\, d\mu (\theta )$

är Fourierkoefficienterna för μ , och C > 0 är en numerisk konstant.

Ansökan om diskrepans

Låt s ₁ , s ₂ , s ₃ ... ∈ R vara en sekvens. Ojämlikheten mellan Erdős och Turán gällde för åtgärden

$\mu _{m}(S)={\frac {1}{m}}\#\{1\leq j\leq m\,|\,s_{j}\,\mathrm {mod} \,1\in S\},\quad S\subset [0,1),$

ger följande gräns för avvikelsen :

${\begin{aligned}D(m)&\left(=\sup _{0\leq a\leq b\leq 1}{\Big |}m^{-1}\#\ {1\leq j\leq m\,|\,a\leq s_{j}\,\mathrm {mod} \,1\leq b\}-(ba){\Big |}\right)\\[ 8pt]&\leq C\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\summa _{k=1}^{n}{\frac {1}{k }}\left|\sum _{j=1}^{m}e^{2\pi is_{j}k}\right|\right).\end{aligned}}\qquad (1)$

Denna olikhet gäller för godtyckliga naturliga tal m,n , och ger en kvantitativ form av Weyls kriterium för ekvifördelning .

En flerdimensionell variant av (1) är känd som ojämlikheten Erdős–Turán–Koksma .

Ytterligare referenser

•    Harman, Glyn (1998). Metrisk talteori . London Mathematical Society Monografier. Ny serie. Vol. 18. Clarendon Tryck . ISBN 0-19-850083-1 . Zbl 1081.11057 .