Nodalanalys

Kirchhoffs nuvarande lag är grunden för nodalanalys.

Vid analys av elektriska kretsar är nodalanalys , nodspänningsanalys eller grenströmsmetoden en metod för att bestämma spänningen ( potentialskillnaden ) mellan " noder " (punkter där element eller grenar ansluter) i en elektrisk krets i termer av grenen strömmar.

Vid analys av en krets med Kirchhoffs kretslagar kan man antingen göra nodalanalys med Kirchhoffs nuvarande lag (KCL) eller nätanalys med Kirchhoffs spänningslag (KVL). Nodalanalys skriver en ekvation vid varje elektrisk nod , vilket kräver att grenströmmarna som infaller vid en nod måste summeras till noll. Grenströmmarna skrivs i termer av kretsnodspänningarna. Som en konsekvens måste varje grenkonstitutiv relation ge ström som en funktion av spänning; en antagningsrepresentation . Till exempel, för ett motstånd, I- _gren = V _-gren * G, där G (=1/R) är admittansen (konduktansen) för motståndet.

Nodalanalys är möjlig när alla kretselements grenkonstitutiva relationer har en admittansrepresentation. Nodalanalys producerar en kompakt uppsättning ekvationer för nätverket, som kan lösas för hand om de är små, eller kan snabbt lösas med hjälp av linjär algebra med dator. På grund av det kompakta ekvationssystemet använder många kretssimuleringsprogram (t.ex. SPICE ) nodalanalys som grund. När element inte har tillträdesrepresentationer kan en mer generell förlängning av nodalanalys, modifierad nodalanalys, användas.

Procedur

Notera alla anslutna trådsegment i kretsen. Dessa är noderna för nodalanalys.
Välj en nod som markreferens . Valet påverkar inte elementspänningarna (men det påverkar nodspänningarna) och är bara en konventionsfråga. Att välja noden med flest anslutningar kan förenkla analysen. För en krets med N noder är antalet nodalekvationer N −1.
Tilldela en variabel för varje nod vars spänning är okänd. Om spänningen redan är känd är det inte nödvändigt att tilldela en variabel.
För varje okänd spänning, bilda en ekvation baserad på Kirchhoffs strömlag (dvs. addera alla strömmar som går från noden och markera summan lika med noll). Strömmen mellan två noder är lika med spänningen för den nod där strömmen går ut minus spänningen för den nod där strömmen kommer in i noden, båda dividerat med resistansen mellan de två noderna.
Om det finns spänningskällor mellan två okända spänningar, sammanfoga de två noderna som en supernod . Strömmarna för de två noderna kombineras i en enda ekvation, och en ny ekvation för spänningarna bildas.
Lös systemet med samtidiga ekvationer för varje okänd spänning.

Exempel

Grundläggande fall

Grundläggande exempelkrets med en okänd spänning, V ₁ .

Den enda okända spänningen i denna krets är $V_{1}$ . Det finns tre anslutningar till denna nod och följaktligen tre strömmar att ta hänsyn till. Strömmarnas riktning i beräkningar är vald att vara borta från noden.

Ström genom motstånd $R_{1}$ : $(V_{1}-V_{S})/R_{1}$
Ström genom motstånd $R_{2}$ : $V_{1}/R_{2}$
Ström genom nuvarande källa $I_{S}$ : $-I_{S}$

Med Kirchhoffs nuvarande lag får vi:

{\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}} {R_{2}}}-I_{S}=0

Denna ekvation kan lösas med avseende på V ₁ :

V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R_{1} }}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}

Slutligen kan den okända spänningen lösas genom att ersätta numeriska värden för symbolerna. Alla okända strömmar är lätta att beräkna efter att alla spänningar i kretsen är kända.

V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V }}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{ 200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}

Supernoder

I denna krets ligger VA _mellan två okända spänningar och är därför en supernod.

I denna krets har vi initialt två okända spänningar, V ₁ och V ₂ . Spänningen vid V3 _är redan känd för att vara VB _eftersom den andra terminalen på spänningskällan har jordpotential.

Strömmen som går genom spänningskällan V _A kan inte direkt beräknas. Därför kan vi inte skriva de aktuella ekvationerna för varken V ₁ eller V ₂ . Vi vet dock att samma ström som lämnar nod V ₂ måste gå in i nod V ₁ . Även om noderna inte kan lösas individuellt vet vi att den kombinerade strömmen för dessa två noder är noll. Denna kombination av de två noderna kallas supernodtekniken , och den kräver ytterligare en ekvation: V ₁ = V ₂ + _VA .

Den kompletta uppsättningen av ekvationer för denna krets är:

{\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{ \text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}} {R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{fall}}

Genom att ersätta

V_{2}={\frac {(R_{ 1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2}) R_{3}+R_{1}R_{2}}}

Matrisform för nodspänningsekvationen

I allmänhet, för en krets med $N$ -noder, kan nodspänningsekvationerna som erhålls genom nodalanalys skrivas i en matrisform som härleds i det följande. För valfri nod $k$ anger KCL ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_ {j})=0}$ där $G_{kj}=G_{jk}$ är det negativa av summan av konduktanserna mellan noderna $k$ och $j$ , och $v_{k}$ är spänningen för nod $k$ . Detta innebär ${\textstyle 0=\summa _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\summa _{j\neq k}G_{jk}v_{k} -\summa _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\summa _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ där $G_{kk}$ är summan av konduktanser kopplade till nod $k$ . Vi noterar att den första termen bidrar linjärt till noden $k$ via $G_{kk}$ , medan den andra termen bidrar linjärt till varje nod $j$ som är kopplad till noden $k$ via $G_{jk}$ med ett minustecken. Om en oberoende strömkälla/ingång $i_{k}$ också är kopplad till nod $k$ , generaliseras uttrycket ovan till ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ . Det är lätt att visa att man kan kombinera ovanstående nodspänningsekvationer för alla $N$ noder och skriva ner dem i följande matrisform

{\begin{pmatrix}G_{11}&G_{12}&\cdots &G_{1N}\\G_{21}&G_{22}&\cdots &G_{2N}\\\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\G_{N1}&G_{N2}&\cdots &G_{NN}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\ v_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{N}\end{pmatrix}}

eller helt enkelt

{\textstyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} .}

Matrisen $\mathbf {G}$ på vänster sida av ekvationen är singular eftersom den uppfyller $\mathbf {G1} =0$ där $\mathbf {1}$ är en $N\ gånger 1$ kolumnmatris som endast innehåller 1s. Detta motsvarar faktumet av nuvarande bevarande, nämligen ${\textstyle \sum _{k}i_{k}=0}$ , och friheten att välja en referensnod (jord). I praktiken anses spänningen vid referensnoden vara 0. Anta att det är den sista noden, $v_{N}=0$ . I det här fallet är det enkelt att verifiera att de resulterande ekvationerna för de andra $N-1$ -noderna förblir desamma, och därför kan man helt enkelt ignorera den sista kolumnen såväl som den sista raden i matrisekvationen . Denna procedur resulterar i en $(N-1)\ gånger (N-1)$ dimensionell icke-singular matrisekvation med definitionerna av alla element oförändrade.

Se även

P. Dimo Nodal Analysis of Power Systems Abacus Press Kent 1975

externa länkar