Neville theta funktioner

I matematik definieras Neville theta-funktionerna , uppkallade efter Eric Harold Neville , enligt följande:

\theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{ m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\summa _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1) }\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)

\theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi } }{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\summa _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^ {2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)

\theta _{n}(z, m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2 \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K (m)}}\right)\right)

\theta _{s}(z,m)={\ frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m )}}}}\,\,\summa _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left( {\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\höger)

där: K(m) är den fullständiga elliptiska integralen av det första slaget, $K'(m)=K(1-m)$ , och $q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}$ är den elliptiska nomen.

Observera att funktionerna θ _p (z,m) ibland definieras i termer av nomen q(m) och skrivs θ _p (z,q) (t.ex. NIST). Funktionerna kan också skrivas i termer av τ -parametern _} θp (z|τ) där $q=e^{i\pi \tau$ .

Relation till andra funktioner

Neville theta-funktionerna kan uttryckas i termer av Jacobi theta-funktionerna

\theta _{s}(z|\tau )=\theta _ {3}^{2}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )

\theta _{c}(z|\tau )=\theta _{2}(z'|\tau )/\theta _{2} (0|\tau )

\theta _{n}(z|\tau )=\theta _{ 4}(z'|\tau )/\theta _{4}(0|\tau )

\ theta _{d}(z|\tau )=\theta _{3}(z'|\tau )/\theta _{3}(0|\tau )

där $z'=z/\theta _{3}^{2}(0|\tau )$ .

Neville theta-funktionerna är relaterade till Jacobis elliptiska funktioner . Om pq(u,m) är en Jacobi elliptisk funktion (p och q är en av s,c,n,d), då