Multidelay block frekvensdomän adaptivt filter

Algoritmen för multidelay block frequency doain adaptive filter (MDF) är en blockbaserad frekvensdomänimplementering av den (normaliserade) algoritmen för minsta medelkvadratfilter (LMS).

Introduktion

MDF-algoritmen är baserad på det faktum att faltningar kan beräknas effektivt i frekvensdomänen (tack vare den snabba Fouriertransformen) . Algoritmen skiljer sig dock från den snabba LMS-algoritmen genom att blockstorleken den använder kan vara mindre än filterlängden. Om båda är lika, reduceras MDF till FLMS-algoritmen.

Fördelarna med MDF framför (N)LMS-algoritmen är:

• Lägre algoritmisk komplexitet
• Partiell avkorrelation av indata (vilket "kan" leda till snabbare konvergens)

Variable definitioner

Låt $N$ vara längden på bearbetningsblocken, $K$ är antalet block och $\mathbf {F}$ betecknar 2Nx2N Fourier-transformmatrisen. Variablerna definieras som:

${\underline {\mathbf {e} }}(\ell )= \mathbf {F} \left[\mathbf {0} _{1xN},e(\ell N),\dots ,e(\ell NN-1)\right]^{T}$

${\underline {\mathbf {x} }}_{k}(\ell )=\mathrm {diag} \left\{\mathbf {F} \left[x((\ell -k+1)N),\dots ,x((\ell - k-1)N-1)\right]^{T}\right\}$

${\underline {\mathbf {X} }}(\ell )=\left[{\underline {\mathbf {x} }}_{0}(\ell ),{\underline {\mathbf { x} }}_{1}(\ell ),\dots ,{\underline {\mathbf {x} }}_{K-1}(\ell )\right]$

${\underline {\mathbf {d} }}(\ell )=\mathbf {F} \left[\ mathbf {0} _{1xN},d(\ell N),\dots ,d(\ell NN-1)\right]^{T}$

Med normaliseringsmatriserna $\mathbf {G} _{1}$ och $\mathbf {G} _{2}$ :

$\mathbf {G} _{1}=\mathbf {F} {\begin{bmatrix}\mathbf {0} _{N\times N}&\mathbf {0} _{N\times N}\\\mathbf {0} _{N\times N}&\mathbf {I} _{N\times N}\\\ end{bmatrix}}\mathbf {F} ^{H}$

${\tilde {\mathbf {G} } }_{2}=\mathbf {F} {\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{N\times N}&\mathbf {0} _{N\times N}\\\mathbf {0} _ {N\times N}&\mathbf {0} _{N\times N}\\\end{bmatrix}}\mathbf {F} ^{H}$

$\mathbf {G} _{2}=\operatörsnamn {diag} \left\{{\tilde {\mathbf {G} }}_{2},{\tilde {\ mathbf {G} }}_{2},\dots ,{\tilde {\mathbf {G} }}_{2}\right\}$

I praktiken, när vi multiplicerar en kolumnvektor $\mathbf {x}$ med $\mathbf {G} _{1}$ , tar vi den inversa FFT av $\mathbf {x}$ , ställ in de första $N$ -värdena i resultatet till noll och ta sedan FFT. Detta är avsett att ta bort effekterna av den cirkulära faltningen.

Algoritmbeskrivning

För varje block beräknas MDF-algoritmen som:

${\underline {\hat {\mathbf {y} }}}(\ell )=\mathbf {G} _{1}{\underline {\mathbf {X} }}(\ell ){\underline {\hat {\mathbf {h} }}}(\ell -1)$

${\underline {\mathbf {e} }}(\ell )={\underline {\mathbf {d} }}(\ell )-{\underline {\hat {\mathbf {y} }}}(\ell )$

$\mathbf {\Phi } _{\mathbf {xx} }( \ell )={\underline {\mathbf {X} }}^{H}(\ell ){\underline {\mathbf {X} }}(\ell )$

${\underline {\hat {\mathbf {h} }}}(\ell )= {\underline {\hat {\mathbf {h} }}}(\ell -1)+\mu \mathbf {G} _{2}\mathbf {\Phi } _{\mathbf {xx} }^{- 1}(\ell ){\underline {\mathbf {X} }}^{H}(\ell ){\underline {\mathbf {e} }}(\ell )$

Det är värt att notera att även om algoritmen är lättare att uttrycka i matrisform, kräver den faktiska implementeringen inga matrismultiplikationer. Till exempel normaliseringsmatrisberäkningen $\mathbf {\Phi } _{\mathbf {xx} }={\underline {\mathbf {X} }} ^{H}(\ell ){\underline {\mathbf {X} }}(\ell )$ reduceras till en elementvis vektormultiplikation eftersom ${\underline {\mathbf {X} }}(\ell )$ är blockdiagonal. Detsamma gäller andra multiplikationer.

• J.-S. Soo och K. Pang, " Multidelay block frequency doain adaptive filter ," IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. 38, nr. 2, s. 373–376, 1990.
• H. Buchner, J. Benesty, W. Kellermann, "An Extended Multidelay Filter: Fast Low-Delay Algorithms for Very High-Order Adaptive Systems". Proc. IEEE internationella konferens om akustik, tal och signalbehandling (ICASSP) , 2003.
• En gratis implementering av MDF-algoritmen är tillgänglig i Speex ( huvudkällfil )

Se även

• Adaptivt filter
• Rekursiva minsta kvadrater
• För statistiska tekniker som är relevanta för LMS-filtret, se Minsta kvadrater .