Morries lag

Morries lag är en speciell trigonometrisk identitet . Dess namn är tack vare fysikern Richard Feynman , som brukade hänvisa till identiteten under det namnet. Feynman valde det namnet för att han lärde sig det under sin barndom av en pojke med namnet Morrie Jacobs och kom efteråt ihåg det hela sitt liv.

Identitet och generalisering

$\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ})\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.$

Det är ett specialfall av den mer allmänna identiteten

$2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n -1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}$

med n = 3 och α = 20° och det faktum att

${\frac {\sin(160})^{\circ \sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ}-20^{\circ})}{\sin(20^{\circ})}}=1 ,$

eftersom

$\sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).$

Liknande identiteter

En liknande identitet för sinusfunktionen gäller också:

$\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ})\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8 }}.$

Dessutom, om man delar den andra identiteten med den första, är följande identitet uppenbar:

$\tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60 ^{\cirkel }).$

Bevis

Geometriskt bevis på Morries lag

Regelbunden nonagon $ABCDEFGHI$ med $O$ som mitten av dess omslutna cirkel . ${\begin{aligned}40^{\circ }&={\frac {360^{\circ }}{9}}\\70^{\circ }&={\frac {180^{\circ }-40^{\circ }}{2}}\\\alpha &=180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\\\beta &=180^{\circ }-90^{\circ }-(70^{\circ }-\alpha )=40^{\circ }\\\gamma &=140^{\circ }-\beta -\alpha =80^{\circ }\end{aligned}}$ vinklarna

Betrakta en vanlig nonagon $ABCDEFGHI$ med sidolängd $1$ och låt $M$ vara mittpunkten av ${\displaystyle AB} ,$ L $\ displaystyle L}$ mittpunkten $BF$ och $J$ mittpunkten av $BD$ . Nonagonens inre vinklar är lika med $140^{\circ }$ och dessutom $\gamma =\angle FBM=80^{\circ }$ , $\beta =\angle DBF=40^{\circ }$ och $\alpha =\angle CBD=20^{\circ }$ (se bild). Att tillämpa cosinusdefinitionen i de rätvinkliga trianglarna $\triangle BFM$ , $\triangle BDL$ och $\triangle BCJ$ ger då beviset för Morries lag:

${\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{aligned}}$

Algebraiskt bevis på den generaliserade identiteten

Kom ihåg dubbelvinkelformeln för sinusfunktionen

$\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).$

Lös för $\cos(\alpha )$

$\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.$

Det följer att:

${\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4 \alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&\,\,\,\vdots \\\cos \left(2^{n -1}\alpha \right)&={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)} }.\end{aligned}}$

Att multiplicera alla dessa uttryck tillsammans ger:

$\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)={\frac {\sin( 2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8 \alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1 }\alpha \right)}}.$

De mellanliggande täljarna och nämnarna avbryter och lämnar endast den första nämnaren, en potens av 2 och den slutliga täljaren. Observera att det finns n termer på båda sidor av uttrycket. Således,

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos \left (2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2^{n}\sin(\alpha )}},$

vilket motsvarar generaliseringen av Morries lag.

Vidare läsning

•   Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction . Oxford University Press, 2020, ISBN 9780192545466 , s. 79–83
• Ernest C. Anderson: Morries lag och experimentell matematik . I: Journal of recreational mathematics , 1998

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Morries lag" . MathWorld .