Mnëvs universalitetssats

I algebraisk geometri är Mnëvs universalitetsteorem ett resultat som kan användas för att representera algebraiska ( eller semi-algebraiska ) varianter som realiseringar av orienterade matroider , en föreställning om kombinatorik .

Orienterade matroider

För Mnëvs universalitet är en orienterad matroid av en finit delmängd $S\subset {\mathbb {R} }^{n}$ en lista över alla partitioner av punkter i $S$ inducerad av hyperplan i ${\mathbb {R} }^{n}$ . Speciellt innehåller strukturen för orienterad matroid fullständig information om incidensrelationerna i ${\displaystyle S},$ vilket på ${\displaystyle S} inducerar$ en matroidstruktur .

Realiseringsutrymmet för en orienterad matroid är rymden för alla konfigurationer av punkter $S\subset {\mathbb {R} }^{n}$ som inducerar samma orienterade matroidstruktur på $S$ .

Stabil ekvivalens av semialgebraiska uppsättningar

För universalitetsändamål definieras den stabila ekvivalensen av semialgebraiska mängder enligt följande.

Låt $U$ och $V$ vara semialgebraiska mängder, erhållna som en frånkopplad förening av anslutna semialgebraiska mängder

$U=U_{1}\coprod \cdots \coprod U_{k}$ och $V=V_{1}\coprod \cdots \coprod V_{k}$

Vi säger att $U$ och $V$ är rationellt ekvivalenta om det finns homeomorfismer $U_{i}{\stackrel {\varphi _{i}}{\ mapsto }}V_{i}$ definieras av rationella kartor.

Låt ${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n+d},V\subset {\mathbb {R} }^{n}} vara semialgebraiska$ mängder ,

$U=U_{1}\coprod \cdots \coprod U_{k}$ och $V=V_{1}\coprod \cdots \coprod V_{k}$

med $U_{i}$ avbildning till $V_{i}$ under den naturliga projektionen $\pi$ tar bort de sista $d$ -koordinaterna. Vi säger att $\pi :\;U\mapsto V$ är en stabil projektion om det finns heltalspolynomkartor

$$\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{\ell },\psi _{1 },\dots ,\psi _{m}:\;{\mathbb {R} }^{n}\mapsto ({\mathbb {R} }^{d})^{*}$$

Så att

$$U_{i}=\{(v,v')\in {\mathbb {R} }^{n+d}\mid v\in V_{i}{\text{ och }}\langle \ varphi _{a}(v),v'\rangle >0,\langle \psi _{b}(v),v'\rangle =0{\text{ för }}a=1,\dots ,\ell ,b=1,\dots ,m\}.$$

Den stabila ekvivalensen är en ekvivalensrelation på semialgebraiska delmängder genererad av stabila projektioner och rationell ekvivalens.

Mnëvs universalitetssats

Teorem ( Mnëvs universalitetssats ):

Låt $V$ vara en semialgebraisk delmängd i ${\mathbb {R} }^{n}$ definierad över heltal. Då $V$ stabilt ekvivalent med ett realiseringsutrymme för en viss orienterad matroid.

Historia

Mnëvs universalitetsteorem upptäcktes av Nikolai Mnëv i hans 1986 Ph.D. avhandling. Den har många tillämpningar inom algebraisk geometri, tack vare Laurent Lafforgue , Ravi Vakil och andra, vilket gör att man kan konstruera modulrum med godtyckligt dåligt beteende.

Vidare läsning

•    Vakil , Ravi (2006), "Murphy's law in algebraic geometry: badly-behaved deformation spaces", Inventiones Mathematicae , 164 (3): 569–590, arXiv : math/0411469 , Bibcode : 2006 InMat.69V . , do .69V 10.1007/s00222-005-0481-9 , MR 2227692 , S2CID 7262537
•   Richter-Gebert, Jürgen (1995), "Mnëv's universality theorem revisited" , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 34 , Artikel B34h, MR 1399755
•   Richter-Gebert, Jürgen (1999), "Universalitetsteorem för orienterade matroider och polytoper", i Chazelle, Bernard; Goodman, Jacob E.; Pollack, Richard (red.), Discrete and Computational Geometry: Ten Years Later , Contemporary Mathematics, vol. 223, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 269–292, doi : 10.1090/conm/223/03144 , MR 1661389