Minimal algebra

Minimal algebra är ett viktigt begrepp inom tam kongruensteorin, en teori som har utvecklats av Ralph McKenzie och David Hobby.

Definition

En minimal algebra är en finit algebra med mer än ett element, där varje icke-konstant unärt polynom är en permutation på sin domän.

Klassificering

Ett polynom i en algebra är en sammansättning av dess grundläggande operationer, { $\displaystyle 0}$ -operationer och projektionerna. Två algebror kallas polynomiellt ekvivalenta om de har samma universum och exakt samma polynomoperationer. En minimal algebra $\mathbb {M}$ faller inom en av följande typer (PP Pálfy)

• $\mathbb {M}$ är av typ ${\bf {1}}$ , eller unär typ , om ${\displaystyle {\rm {Pol}}~\mathbb {M} ={\rm {Pol}}\langle M,G\rangle } , där$ M $\displaystyle M}$ betecknar universum av $\mathbb {M}$ , ${\rm {Pol~\mathbb {A} }}$ betecknar mängden av alla polynom i en algebra $\mathbb {A}$ och $G$ är en undergrupp av den symmetriska gruppen över $M$ .

• $\mathbb {M}$ är av typ ${\displaystyle {\bf {2}}} ,$ eller affin typ , om $\mathbb {M}$ är polynomiskt ekvivalent med ett vektorrum .

• $\mathbb {M}$ är av typ ${\displaystyle {\bf {3}}} ,$ eller boolesk typ , om ${\displaystyle \mathbb {M} } är polynomiskt ekvivalent med en$ boolesk tvåelementstyp algebra .

• $\mathbb {M}$ är av typ ${\displaystyle {\bf {4}}} ,$ eller gittertyp , om $\mathbb {M}$ är polynomiskt ekvivalent med ett tvåelementsgitter .

• $\mathbb {M}$ är av typ ${\displaystyle {\bf {5}}} ,$ eller semigittertyp , om $\mathbb {M}$ är polynomiskt ekvivalent med ett tvåelements semigitter .