Mie–Grüneisens tillståndsekvation

Mie –Grüneisens tillståndsekvation är en tillståndsekvation som relaterar trycket och volymen av ett fast ämne vid en given temperatur. Den används för att bestämma trycket i en stötkomprimerad fast substans. Mie–Grüneisen-relationen är en speciell form av Grüneisen-modellen som beskriver effekten som en förändring av volymen hos ett kristallgitter har på dess vibrationsegenskaper. Flera varianter av Mie–Grüneisens tillståndsekvation används.

Grüneisen-modellen kan uttryckas i formen

$\Gamma =V\left({\frac {dp}{de}}\right)_{V}$

där V är volymen, p är trycket, e är den inre energin och Γ är Grüneisen-parametern som representerar det termiska trycket från en uppsättning vibrerande atomer. Om vi ​​antar att Γ är oberoende av p och e , kan vi integrera Grüneisens modell för att få

$p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}(e-e_{0})$

₀₀ där $p_{0}$ och $e_{0}$ är trycket och den inre energin vid ett referenstillstånd som vanligtvis antas vara det tillstånd där temperaturen är 0K. I så fall p och e oberoende av temperatur och värdena på dessa storheter kan uppskattas från Hugoniots ekvationer . Tillståndsekvationen Mie–Grüneisen är en speciell form av ovanstående ekvation.

Historia

Gustav Mie, 1903, utvecklade en intermolekylär potential för att härleda högtemperaturekvationer av fasta ämnens tillstånd. 1912 Eduard Grüneisen Mies modell till temperaturer under Debye-temperaturen vid vilka kvanteffekter blir viktiga. Grüneisens form av ekvationerna är bekvämare och har blivit den vanliga utgångspunkten för att härleda Mie–Grüneisens tillståndsekvationer.

Uttryck för Mie–Grüneisens statsekvation

En temperaturkorrigerad version som används inom beräkningsmekanik har formen

$p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi \left[1-{\frac {\Gamma _{0}}{2 }}\,\chi \right]}{\left(1-s\chi \right)^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \chi :=1-{\cfrac {\ rho _{0}}{\rho }}$

där $C_{0}$ är ljudets bulkhastighet, $\rho _{0}$ är den initiala tätheten, $\rho$ är den nuvarande densiteten, $\ Gamma _{0}$ är Grüneisens gamma vid referenstillståndet, $s=dU_{s}/dU_{p}$ är en linjär Hugoniot-lutningskoefficient, $U_{s}$ är stötvågshastigheten, $U_{p}$ är partikelhastigheten och $E$ är den inre energin per enhetsreferensvolym. En alternativ form är

$p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}(\eta -1)\left[\eta -{\frac {\Gamma _{0}}{2}} (\eta -1)\right]}{\left[\eta -s(\eta -1)\right]^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \eta :={\ cfrac {\rho }{\rho _{0}}}\,.$

En grov uppskattning av den interna energin kan beräknas med hjälp av

$E={\frac {1}{V_{0}}}\int C_{v }dT\approx {\frac {C_{v}(T-T_{0})}{V_{0}}}=\rho _{0}c_{v}(T-T_{0})$

där $V_{0}$ är referensvolymen vid temperatur $T=T_{0}$ , $C_{v}$ är värmekapaciteten och $c_{v}$ är den specifika värmekapaciteten vid konstant volym. I många simuleringar antas det att $C_{p}$ och $C_{v}$ är lika.

Parametrar för olika material

material	$\rho _{0}$ (kg/m 3 )	$c_{v}$ (J/kg-K)	$C_{0}$ (m/s)	$s$	$\Gamma _{0}$ ( $T<T_{1}$ )	$\Gamma _{0}$ ( $T>=T_{1}$ )	$T_{1}$ (K)
Koppar	8960	390	3933	1.5	1,99	2.12	700

Härledning av tillståndsekvationen

Från Grüneisens modell har vi

$p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}(e-e_{0})$

 

 

 

 

()

där $p_{0}$ och $e_{0}$ är trycket och den inre energin vid ett referenstillstånd. Hugoniots ekvationer för bevarande av massa, momentum och energi är

${\ start{aligned}\rho _{0}U_{s}&=\rho (U_{s}-U_{p})\,,\\[1ex]p_{H}-p_{H0}&=\rho _{0}U_{s}U_{p}\,,\\[1ex]p_{H}U_{p}&=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p }^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right)\end{aligned}}$

₀ där ρ är referenstätheten, ρ är densiteten på grund av stötkompression, p _{H är} trycket på Hugonioten, E _H är den inre energin per massenhet på Hugonioten, U _s är stöthastigheten och Up är partikelhastighet. Från bevarandet av massa har vi

${\frac {U_{p}}{U_{s}}}=1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}=1-{\frac {V}{V_{ 0}}}=:\chi \,.$

Där vi definierade $V=1/\rho$ , den specifika volymen (volym per massenhet).

₀ För många material är U _s och U _p linjärt relaterade, dvs ₀ U _s = C + s U _p där C och s beror på materialet. I så fall har vi

$U_{s}=C_{0}+s\chi U_{s}\quad {\text{or}}\quad U_{s}={\frac {C_{0}}{1-s\ chi }}\,.$

Momentumekvationen kan sedan skrivas (för huvudhugonioten där p _H0 är noll) som

$p_{H}=\rho _{0}\chi U_{s}^{2}={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1- s\chi )^{2}}}\,.$

På samma sätt från energiekvationen vi har

$p_{H}\chi U_{s}={\tfrac {1}{2}}\rho \chi ^{2}U_{s}^{3}+\rho _{0}U_{s }E_{H}={\tfrac {1}{2}}p_{H}\chi U_{s}+\rho _{0}U_{s}E_{H}\,.$

Att lösa för e _H , vi har

$E_{H}={\tfrac {1}{2}}{\frac {p_{H}\chi }{\ rho _{0}}}={\tfrac {1}{2}}p_{H}(V_{0}-V)$

Med dessa uttryck för p _H och E _H , blir Grüneisen-modellen på Hugoniot

$p_{H}-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}\left({\frac {p_{H}\chi V_{0}}{2}}-e_{0 }\right)\quad {\text{eller}}\quad {\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}} \left(1-{\frac {\chi }{2}}\,{\frac {\Gamma }{V}}\,V_{0}\right)-p_{0}=-{\frac {\ Gamma }{V}}e_{0}\,.$

Om vi ​​antar att ₀ Γ/ V = ​​Γ / V ₀ och noterar att $p_{0}=-de_{0}/dV$ får vi

${\frac {\rho C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\frac {\Gamma _{0}\ chi }{2}}\right)+{\frac {de_{0}}{dV}}+{\frac {\Gamma _{0}}{V_{0}}}e_{0}=0\, .$

 

 

 

 

()

₀₀₀ Ovanstående ordinarie differentialekvation kan lösas för e med initialvillkoret e = 0 när V = V ( χ = 0). Den exakta lösningen är

${\begin{aligned}e_{0 }={\frac {\rho C_{0}^{2}V_{0}}{2s^{4}}}{\Biggl [}&\exp(\Gamma _{0}\chi )\left( {\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-3\right)s^{2}-{\frac {\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-( 3-s\chi )\right]s^{2}}{1-s\chi }}+\\&\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1 -s\chi )\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\ vänster[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\höger]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{ s}}\right]\right){\Biggr ]}\end{aligned}}$

₀ där Ei[ z ] är exponentialintegralen . Uttrycket för p är

${\begin{aligned}p_{0}=-{\frac {de_{0}}{dV}}={\frac {\rho C_{0}^{2}}{2s^{4} (1-\chi )}}{\Biggl [}&{\frac {s}{(1-s\chi )^{2}}}{\Bigl (}-\Gamma _{0}^{2} (1-\chi )(1-s\chi )+\Gamma _{0}[s\{4(\chi -1)\chi s-2\chi +3\}-1]\\&\qquad \qquad \quad -\exp(\Gamma _{0}\chi )[\Gamma _{0}(\chi -1)-1](1-s\chi )^{2}(\Gamma _{0 }-3s)+s[3-\chi s\{(\chi -2)s+4\}]{\Bigr )}\\&-\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0 }}{s}}(1-s\chi )\höger]\vänster[\Gamma _{0}(\chi -1)-1\höger]\vänster(\Gamma _{0}^{2}- 4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\ chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\,.\end{aligned} }$

₀₀ Plots av e och p för koppar som en funktion av χ .

För vanliga kompressionsproblem är en approximation till den exakta lösningen en effektserielösning av formen

$e_{0}(V)=A+B\chi (V)+C\ chi ^{2}(V)+D\chi ^{3}(V)+\cdots$

och

$p_{0}(V)=-{\frac {de_{0}}{dV}}=-{\frac {de_{0}}{d\chi }}\,{\frac {d\ chi }{dV}}={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )\,.$

Substitution i Grüneisen-modellen ger oss Mie–Grüneisens ekvation av tillstånd

$p={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )+{\frac {\Gamma _{0}} {V_{0}}}\left[e-(A+B\chi +C\chi ^{2}+D\chi ^{3}+\cdots )\right]\,.$

₀₀₀₀ Om vi ​​antar att den inre energin e = 0 när V = V ( χ = 0 ) har vi A = 0. På samma sätt, om vi antar p = 0 när V = V har vi B = 0. Mie–Grüneisens tillståndsekvation kan då skrivas som

$p={\frac {1}{V_{0}} }\left[2C\chi \left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+3D\chi ^{2}\left(1-{\tfrac {\ Gamma _{0}}{3}}\chi \right)+\cdots \right]+\Gamma _{0}E$

där E är den inre energin per enhet referensvolym. Flera former av denna tillståndsekvation är möjliga.

Jämförelse av exakta och första ordningens Mie–Grüneisens tillståndsekvation för koppar.

Om vi ​​tar första ordningens term och ersätter den med ekvation ( 2 ), kan vi lösa C för att få

$C={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}V_{0}}{2(1-s\chi )^{2}}}\,.$

Då får vi följande uttryck för p :

$p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\tfrac {\ Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+\Gamma _{0}E\,.$

Detta är den vanligaste första ordningens Mie–Grüneisens statsekvation.

Se även

• Impakt (mekanik)
• Stötvåg
• Chock (mekanik)
• Stötrör
• Hydrostatisk chock
• Viskoplasticitet