Maximala lotterier

Maximala lotterier hänvisar till ett probabilistiskt röstningssystem som först övervägdes av den franske matematikern och samhällsvetaren Germain Kreweras 1965. Metoden använder sig av preferenser och returnerar så kallade maximala lotterier, det vill säga sannolikhetsfördelningar över de alternativ som är svagt föredragna framför alla andra sannolikheter distribution. Maximala lotterier uppfyller Condorcet-kriteriet , Smith -kriteriet , omkastningssymmetri , polynom körtid och probabilistiska versioner av förstärkning , deltagande och oberoende av kloner .

Maximala lotterier är likvärdiga med blandade maximin-strategier (eller Nash equilibria ) i det symmetriska nollsummespelet som ges av de parvisa majoritetsmarginalerna. Som sådana har de en naturlig tolkning i termer av valkonkurrens mellan två politiska partier. Dessutom kan de beräknas med linjär programmering . Röstsystemet som returnerar alla maximala lotterier karakteriseras axiomatiskt som den enda som tillfredsställer probabilistiska versioner av befolkningskonsistens (en försvagning av förstärkningen) och sammansättningskonsistensen (en förstärkning av klonernas oberoende). En social välfärdsfunktion som topprankar maximala lotterier kännetecknas av Arrows oberoende av irrelevanta alternativ och Pareto-effektivitet . Maximala lotterier uppfyller en stark uppfattning om Pareto-effektivitet och en svag uppfattning om strategisäkerhet . I motsats till slumpmässig diktatur uppfyller maximala lotterier inte standarduppfattningen om strategisäkerhet. Dessutom är maximala lotterier inte monotona i sannolikhet, dvs det är möjligt att sannolikheten för ett alternativ minskar när detta alternativ rankas upp. Sannolikheten för alternativet kommer dock att förbli positiv.

Maximala lotterier eller varianter av dessa har återupptäckts flera gånger av ekonomer, matematiker, statsvetare, filosofer och datavetare. I synnerhet stödet för maximala lotterier, som är känt som den väsentliga uppsättningen eller den tvådelade uppsättningen , studerats i detalj.

Liknande idéer förekommer också i studiet av förstärkningsinlärning och evolutionär biologi för att förklara mångfalden av samexisterande arter.

Kollektiva preferenser framför lotterier

Ingången till detta röstningssystem består av agenternas ordinarie preferenser framför utfall (inte lotterier framför alternativ), men en relation på uppsättningen lotterier kan konstrueras på följande sätt: if p {\displaystyle p} $q$ { $displaystyle q}$ är lotterier över alternativ, $p\succ q$ om det förväntade värdet av segermarginalen för ett resultat valt med fördelningen $p$ i en head-to-head röst mot ett resultat vald med fördelningen $q$ är positiv. Med andra ord, $p\succ q$ om det är mer sannolikt att en slumpmässigt utvald väljare kommer att föredra alternativen samplade från $p$ framför alternativet samplade från $q$ än vice versa. Även om denna relation inte nödvändigtvis är transitiv, innehåller den alltid minst ett maximalt element.

Det är möjligt att flera sådana maximala lotterier finns, men enhetlighet kan bevisas i det fall där marginalerna mellan valfritt par av alternativ alltid är ett udda tal. Detta är till exempel fallet om det finns ett udda antal väljare som alla har strikta preferenser framför alternativen. Efter samma argument gäller unicity för det ursprungliga "bipartisan set" som definieras som stödet för maximal lotteri för ett turneringsspel.

Exempel

Anta att det finns fem väljare som har följande preferenser framför tre alternativ:

• 2 väljare: $a\succ b\succ c$
• 2 väljare: $b\succ c\succ a$
• 1 väljare: $c\succ a\succ b$

Väljarnas parvisa preferenser kan representeras i följande skevsymmetriska matris , där posten för rad $x$ och kolumn $y$ anger antalet väljare som föredrar $x$ framför $y$ minus antalet väljare som föredrar $y$ framför $x$ .

${\begin{matrix}{\begin{matrix}&&a\quad &b\quad &c\quad \\\end{matrix}}\ \{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&3\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}\end {matris}}$

Denna matris kan tolkas som ett nollsummespel och $displaystyle p(a)=3/5}$ en unik Nash-jämvikt (eller minimaxstrategi ) $p$ där , $p(b)=1/5$ , $p(c)=1/5$ . Per definition är detta också det unika maximala lotteriet för preferensprofilen ovan. Exemplet var noga utvalt för att inte ha en Condorcet-vinnare . Många preferensprofiler tillåter en Condorcet-vinnare, i vilket fall det unika maximala lotteriet kommer att tilldela Condorcet-vinnaren sannolikhet 1.

externa länkar

• voting.ml (webbplats för beräkning av maximala lotterier)
• Pnyx - Practical Preference Aggregation (röstningsverktyg som bland annat erbjuder maximala lotterier)
• votation.ovh (fransk webbplats för beräkning av maximala lotterier)