Matrisfält

I abstrakt algebra är ett matrisfält ett fält med matriser som element. Inom fältteorin finns det två typer av fält: ändliga fält och oändliga fält. Det finns flera exempel på matrisfält med olika egenskaper och kardinalitet .

Det finns ett ändligt matrisfält med kardinalitet p för varje primtal p . Man kan hitta flera finita matrisfält med karakteristiken p för vilket givet primtal p som helst . I allmänhet, motsvarande varje ändligt fält, finns det ett matrisfält. Eftersom två ändliga fält med lika kardinalitet är isomorfa , kan elementen i ett ändligt fält representeras av matriser.

I motsats till det allmänna fallet för matrismultiplikation är multiplikation kommutativ i ett matrisfält (om de vanliga operationerna används). Eftersom addition och multiplikation av matriser har alla nödvändiga egenskaper för fältoperationer förutom kommutativitet av multiplikation och förekomsten av multiplikativa inverser , är ett sätt att verifiera om en uppsättning matriser är ett fält med de vanliga operationerna av matrissumma och multiplikation att kontrollera om

1. mängden är stängd under addition, subtraktion och multiplikation;
2. det neutrala elementet för matrisaddition (det vill säga nollmatrisen) ingår ;
3. multiplikation är kommutativ;
4. uppsättningen innehåller en multiplikativ identitet (observera att detta inte behöver vara identitetsmatrisen ) ; och
5. varje matris som inte är nollmatrisen har en multiplikativ invers .

Exempel

1. Ta uppsättningen av alla n × n matriser i formuläret

${\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ts &0&0 \end{pmatrix}}$

med $a\in \mathbb {R}$ – det vill säga matriser fyllda med nollor förutom den första raden, som är fylld med samma reella konstant $a$ . Dessa matriser är kommutativa för multiplikation:

${\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\dots &\\0 cdots &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b&b&\cdots &b\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}= {\begin{pmatrix}ab&ab&\cdots &ab\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b&b&\ cdots &b\\0&0&&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$ .

Den multiplikativa identiteten är ${\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ 0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$ .

Den multiplikativa inversen av en matris ${\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$ med $a\neq 0$ ges av ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{a}}&{\frac {1}{a}}&\cdots &{\frac {1}{a}}\\0&0&\cdots &0 \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

Det är lätt att se att detta matrisfält är isomorft med fältet av reella tal under kartan $a\mapsto {\begin{pmatrix}a&a&\cdots &a \\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$ .

2. Formens uppsättning matriser

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},$

där $a$ och $b$ intervall över fältet av reella tal, bildar ett matrisfält som är isomorft till fältet $\mathbb {C}$ av komplexa tal : $a$ motsvarar den reella delen av talet, medan $b$ motsvarar den imaginära delen . Så talet ${\displaystyle 2+3i} ,$ till exempel, skulle representeras som

${\begin{pmatrix}2&-3\\3&2\end{pmatrix}}.$

Man kan enkelt verifiera att $i^{2}=-1$ :

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{\!2}={\begin{pmatrix}-1&0 \\0&-1\end{pmatrix}},$

och även, genom att beräkna en matrisexponential , att Eulers identitet, $e^{i\pi }=-1$ är giltig:

$e^{{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\pi &0 \\0&\pi \end{pmatrix}}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ .

Se även

• Fältteori
• Ändligt fält
• Algebraisk struktur
• Galois teori
• Matrix ring
• Matrisgrupp