Matérn kovariansfunktion

Inom statistik är Matérn -kovariansen , även kallad Matérn-kärnan , en kovariansfunktion som används i rumslig statistik , geostatistik , maskininlärning , bildanalys och andra tillämpningar av multivariat statistisk analys på metriska utrymmen . Den är uppkallad efter den svenske skogsstatistikern Bertil Matérn . Den specificerar kovariansen mellan två mätningar som en funktion av avståndet mellan punkterna där de tas. Eftersom kovariansen endast beror på avstånd mellan punkter är den stationär . Om avståndet är euklidiskt avstånd är Matérn-kovariansen också isotropisk .

Definition

Matérn-kovariansen mellan mätningar tagna vid två punkter åtskilda av d avståndsenheter ges av

$C_{\nu }(d)=\sigma ^{2} {\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Bigg (}{\sqrt {2\nu}}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )},$

där $\Gamma$ är gammafunktionen , $K_{\nu }$ är den modifierade Bessel-funktionen av det andra slaget, och ρ och $\nu$ är positiva parametrar för kovariansen .

En Gauss-process med Matérn-kovarians är $\lceil \nu \rceil -1$ gånger differentierbar i medelkvadratbemärkelse.

Spektral densitet

Effektspektrumet för en process med Matérn-kovarians definierad på $\mathbb {R} ^{n}$ är den ( n -dimensionella) Fouriertransformen av Matérn-kovariansfunktionen (se Wiener–Khinchin-satsen ). Explicit ges detta av

$S(f)=\sigma ^{2}{\frac {2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma (\nu +{\frac {n}{2}})(2 \nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\höger)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\höger)}.$

Förenkling för specifika värden på ν

Förenkling för ν halvt heltal

När ${\displaystyle \nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}} kan$ Matérn -kovariansen skrivas som en produkt av ett exponentiellt och ett polynom av ordningen $p$ :

$$C_{p+1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {{\sqrt {2p+ 1}}d}{\rho }}\right){\frac {p!}{(2p)!}}\sum _{i=0}^{p}{\frac {(p+i)!} {i!(pi)!}}\left({\frac {2{\sqrt {2p+1}}d}{\rho }}\right)^{pi},$$

vilket ger:

• för $\nu =1/2\ (p=0)$$C_$ C
• för $\nu =3/2\ (p=1)$ : $C_{3/2}(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {{\sqrt {3}}d}{\rho }}\right)\ exp \left(-{\frac {{\sqrt {3}}d}{\rho }}\right),$
• för $\nu =5/2\ (p=2)$ : $C_{5/2}(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {{\sqrt {5}}d}{\rho }}+{\frac {5d^{ 2}}{3\rho ^{2}}}\right)\exp \left(-{\frac {{\sqrt {5}}d}{\rho }}\right).$

Det Gaussiska fallet i gränsen för oändligt ν

Som $\nu \rightarrow \infty$ , konvergerar Matérn-kovariansen till den kvadratiska exponentiella kovariansfunktionen

$\lim _{\nu \rightarrow \infty }C_{\nu}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d^{2}}{2\rho ^ {2}}}\höger).$

Taylor-serier vid noll och spektrala ögonblick

Beteendet för $d\rightarrow 0$ kan erhållas av följande Taylor-serie (referens behövs, formeln nedan leder till division med noll i fallet $\nu =1$ ):

$$C_{\nu}(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {\nu}{2(1-\nu)}}\left({\frac {d}{ \rho }}\right)^{2}+{\frac {\nu ^{2}}{8(2-3\nu +\nu ^{2})}}\left({\frac {d} {\rho }}\right)^{4}+{\mathcal {O}}\left(d^{5}\right)\right).$$

När de är definierade kan följande spektrala moment härledas från Taylor-serien:

${\begin{aligned}\lambda _{0}&=C_{\nu}(0)=\sigma ^{2},\\[8pt]\lambda _{2}&=-\vänster. {\frac {\partial ^{2}C_{\nu}(d)}{\partial d^{2}}}\right|_{d=0}={\frac {\sigma ^{2}\ nu }{\rho ^{2}(\nu -1)}}.\end{aligned}}$

Se även

• Radiell basfunktion