Martingales centrala gränssats

I sannolikhetsteorin säger den centrala gränssatsen att, under vissa förhållanden, summan av många oberoende identiskt fördelade slumpvariabler, när de skalas på lämpligt sätt, konvergerar i fördelning till en standardnormalfördelning . Martingalens centrala gränssats generaliserar detta resultat för slumpvariabler till martingaler , som är stokastiska processer där förändringen i processens värde från tid t till tidpunkt t + 1 har förväntan noll, även betingad av tidigare utfall.

Påstående

Här är en enkel version av martingalens centrala gränssats: Låt $X_{1},X_{2},\dots \,$ vara en martingal med avgränsade steg; det vill säga anta

$\operatörsnamn {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,$

och

$|X_{t+1}-X_{t}|\leq k$

nästan säkert för någon fast bunden k och alla t . Antag också att $|X_{1}|\leq k$ nästan säkert.

Definiera

$\sigma _{t}^{2}=\operatörsnamn {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1 },\ldots ,X_{t}],$

och låt

$\tau _{\nu}=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.$

Sedan

${\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}$

konvergerar i distribution till normalfördelningen med medelvärde 0 och varians 1 som $\nu \to +\infty \!$ . Mer uttryckligen,

$\lim _{\nu \to +\infty }\operatörsnamn {P} \left({\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}<x\ höger)=\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{ 2}}{2}}\right)\,du,\quad x\in \mathbb {R} .$

Summan av varianser måste divergera till oändlighet

Uttalandet av ovanstående resultat antar implicit varianssumman till oändlighet, så följande gäller med sannolikhet 1:

$\sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty$

Detta säkerställer att med sannolikhet 1:

$\tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0$

Detta villkor kränks till exempel av en martingal som definieras som noll nästan säkert för all framtid.

Intuition på resultatet

Resultatet kan intuitivt förstås genom att skriva förhållandet som en summering:

${\frac {X_{\tau _{v}} }{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\summa _{i=1} ^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1$

Den första termen på högersidan konvergerar asymptotiskt till noll, medan den andra termen kvalitativt liknar summeringsformeln för centralgränssatsen i det enklare fallet med iid stokastiska variabler. Även om termerna i uttrycket ovan inte nödvändigtvis är iid, är de okorrelerade och har noll medelvärde. Verkligen:

$E[(X_{i+1}-X_{i})]=0,\forall i\in \{1,2,3,...\}$

$E[(X_{i+1}-X_{i})(X_{j+1}-X_{j})]=0,\forall i\neq j,i,j\in \{ 1,2,3,...\}$

Många andra varianter av martingalens centrala gränssats kan hittas i:

•   Hall, Peter; Heyde, C.C. (1980). Martingale Limit Theory och dess tillämpning . New York: Academic Press. ISBN 0-12-319350-8 .

Observera dock att beviset för sats 5.4 i Hall & Heyde innehåller ett fel. För vidare diskussion, se

•   Bradley, Richard (1988). "Om några resultat av MI Gordin: ett förtydligande av ett missförstånd". Journal of Theoretical Probability . Springer. 1 (2): 115–119. doi : 10.1007/BF01046930 . S2CID 120698528 .