Martin mått

I beskrivande mängdteori är Martin -måttet ett filter på uppsättningen av Turing-grader av mängder naturliga tal , uppkallad efter Donald A. Martin . Under beslutsamhetens axiom kan det visas att det är ett ultrafilter .

Definition

Låt $D$ vara mängden Turing-grader av mängder naturliga tal. Givet en viss ekvivalensklass $[X]\in D$ , kan vi definiera konen (eller konen uppåt ) för $[X]$ som mängden av alla Turinggrader $[Y]$ så att $X\leq _{T}Y$ ; det vill säga uppsättningen av Turing-grader som är "minst lika komplexa" som $X$ under Turing-reduktion . I ordningsteoretiska termer är konen för $[X]$ den övre uppsättningen av $[X]$ .

Om man antar beslutsamhetens axiom , anger konlemmat att om A är en uppsättning Turinggrader, innehåller antingen A en kon eller komplementet till A innehåller en kon. Det liknar Wadges lemma för Wadge-grader, och är viktigt för följande resultat.

Vi säger att en uppsättning $A$ med Turing-grader har måttet 1 under Martin-måttet exakt när $A$ innehåller någon kon. Eftersom det är möjligt, för vilken ${\displaystyle A} som helst$ , att konstruera ett spel där spelare I har en vinnande strategi exakt när $A$ innehåller en kon och i vilken spelare II har en vinnande strategi exakt när komplementet av $A$ innehåller en kon, antyder bestämningsaxiomet att måtten-1 uppsättningarna av Turinggrader bildar ett ultrafilter.

Konsekvenser

Det är lätt att visa att en räknebar skärning av koner i sig är en kon; Martin-måttet är därför ett uträkneligt komplett filter. Detta faktum, i kombination med det faktum att Martin-måttet kan överföras till $\omega _{1}$ genom en enkel mappning, säger oss att $\omega _{1}$ är mätbar under beslutsamhetens axiom. Detta resultat visar en del av det viktiga sambandet mellan beslutsamhet och stora kardinaler .

•   Moschovakis, Yiannis N. (2009). Beskrivande mängdteori . Matematiska undersökningar och monografier. Vol. 155 (2:a uppl.). American Mathematical Society. sid. 338. ISBN 9780821848135 .