Marshall–Olkins exponentialfördelning

I tillämpad statistik är Marshall-Olkins exponentialfördelning vilken som helst medlem av en viss familj av kontinuerliga multivariata sannolikhetsfördelningar med positivt värderade komponenter. Det introducerades av Albert W. Marshall och Ingram Olkin . En av dess huvudsakliga användningsområden är tillförlitlighetsteori, där Marshall-Olkin-kopulan modellerar beroendet mellan slumpvariabler som utsätts för yttre stötar.

Definition

Låt $\{E_{B}:\varnothing \neq B\subset \{1,2,\ldots ,b\}\}$ vara en uppsättning oberoende, exponentiellt fördelade slumpvariabler , där $E_{B}$ har medelvärdet $1/\lambda _{B}$ . Låta

T_{j}=\min\{E_{B}:j\in B\},\ \ j=1,\ldots ,b.

Den gemensamma fördelningen av $T=(T_{1},\ldots ,T_{b})$ kallas Marshall–Olkins exponentialfördelning med parametrarna $\{\lambda _{B},B\subset \{1,2,\ldots ,b\}\}.$

Konkret exempel

Antag att b = 3. Sedan finns det sju icke-tomma delmängder av { 1, ..., b } = { 1, 2, 3 }; därav sju olika exponentiella slumpvariabler:

E_{\ {1\}},E_{\{2\}},E_{\{3\}},E_{\{1,2\}},E_{\{1,3\}},E_{\{ 2,3\}},E_{\{1,2,3\}}

Då har vi:

{ \displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=\min\{E_{\{1\}},E_{\{1,2\}},E_{\{1,3\}},E_ {\{1,2,3\}}\}\\T_{2}&=\min\{E_{\{2\}},E_{\{1,2\}},E_{\{2 ,3\}},E_{\{1,2,3\}}\}\\T_{3}&=\min\{E_{\{3\}},E_{\{1,3\} },E_{\{2,3\}},E_{\{1,2,3\}}\}\\\end{aligned}}} Xu M, Xu S. "En utökad stokastisk modell för kvantitativ

säkerhet Analys av nätverkssystem". Internet Mathematics , 2012, 8(3): 288–320.