Magnetiseringsdynamik

Inom fysiken är magnetiseringsdynamik den gren av fast tillståndets fysik som beskriver utvecklingen av magnetiseringen av ett material.

Rotationsfysik

Ett magnetiskt moment $m$ i närvaro av ett magnetfält $H$ upplever ett vridmoment $\tau$ som försöker bringa moment- och fältvektorerna i linje. Det klassiska uttrycket för detta inriktningsmoment ges av

${\boldsymbol {\tau }}=\mu _{0}\mathbf {m} \times \mathbf {H}$ ,

och visar att vridmomentet är proportionellt mot styrkorna i momentet och fältet och till vinkeln för felinriktningen mellan dem.

Från klassisk mekanik definieras vridmoment som tidshastigheten för förändring av vinkelmomentet $L$ eller, uttryckt matematiskt,

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$ .

I avsaknad av andra effekter skulle denna förändring i vinkelmomentet realiseras genom att dipolmomentet kommer i rotation för att passa in i fältet.

Precession

Emellertid måste effekten av ett vridmoment som appliceras på en elektrons magnetiska moment beaktas i ljuset av spin-omloppsinteraktion . Eftersom det magnetiska momentet för en elektron är en konsekvens av dess spinn och omloppsbana och tillhörande vinkelmoment, är det magnetiska momentet för en elektron direkt proportionellt mot dess vinkelmoment genom det gyromagnetiska förhållandet $\gamma$ , så att

$\mathbf {m} =-\gamma \mathbf {L}$ .

Det gyromagnetiska förhållandet för en fri elektron har experimentellt bestämts som γ _e = 1,760 859 644 (11) × 10 ¹¹ s ⁻¹ ⋅T ⁻¹ . Detta värde ligger mycket nära det som används för Fe-baserade magnetiska material.

Att ta derivatan av det gyromagnetiska förhållandet med avseende på tid ger sambandet,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}=-\gamma {\frac { \mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=-\gamma {\boldsymbol {\tau }}$ .

På grund av förhållandet mellan en elektrons magnetiska moment och dess vinkelmoment kommer alltså varje vridmoment som appliceras på det magnetiska momentet att ge upphov till en förändring i det magnetiska momentet parallellt med vridmomentet.

Att ersätta det klassiska uttrycket för vridmoment på ett magnetiskt dipolmoment ger differentialekvationen,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}=-\gamma \mu _{0} \left(\mathbf {m} \times \mathbf {H} \right)$ .

Specificerar att det applicerade magnetfältet är i $z$ -riktningen och separerar differentialekvationen i dess kartesiska komponenter,

${\frac {\mathrm {d} m_{x}}{\ mathrm {d} t}}=-\gamma \mu _{0}m_{y}H_{z}\qquad {\frac {\mathrm {d} m_{y}}{\mathrm {d} t}} =\gamma \mu _{0}m_{x}H_{z}\qquad {\frac {\mathrm {d} m_{z}}{\mathrm {d} t}}=0$ ,

det kan uttryckligen ses att den momentana förändringen i magnetiskt moment sker vinkelrätt mot både det applicerade fältet och momentets riktning, utan någon förändring i momentet i fältets riktning.

Dämpning

Medan överföringen av vinkelmoment på ett magnetiskt moment från ett applicerat magnetfält visar sig orsaka precession av momentet kring fältaxeln, sker rotationen av momentet till inriktning med fältet genom dämpningsprocesser.

Dynamik på atomnivå involverar interaktioner mellan magnetisering, elektroner och fononer. Dessa interaktioner är överföringar av energi som allmänt kallas avslappning. Magnetiseringsdämpning kan ske genom energiöverföring (avslappning) från en elektrons spinn till:

• Ambulerande elektroner (elektron-spin-relaxation)
• Gittervibrationer (spin-fononavslappning)
• Spinnvågor, magnoner (spin-spin-avslappning)
• Föroreningar (spin-elektron, spin-fonon eller spin-spin)

Dämpning resulterar i ett slags magnetfälts "viskositet", varvid magnetfältet $H_{eff}$ under övervägande fördröjs med en begränsad tidsperiod $\delta {t}$ . I en allmän mening kan differentialekvationen som styr precession skrivas om för att inkludera denna dämpningseffekt, så att,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} \left(t\right) }{\mathrm {d} t}}=-\gamma \mu _{0}\mathbf {m} \left(t\right)\times \mathbf {H_{eff}} \left(t-\delta t \right)$ .

Ta Taylor-seriens expansion om t , samtidigt som man noterar att ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} \mathbf {H_{eff}} }{\mathrm {d} t}}={\tfrac {\mathrm {d} \mathbf {H_{eff}} }{\mathrm {d} \mathbf {m} }}{\tfrac {\mathrm {d } \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}} ,$ ger en linjär approximation för det tidsfördröjda magnetfältet,

$\mathbf {H_{eff}} \left(t- \delta t\right)=\mathbf {H_{eff}} \left(t\right)-\delta t{\frac {\mathrm {d} \mathbf {H_{eff}} }{\mathrm {d} \mathbf {m} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}+\dots$ ,

när man försummar högre ordningsvillkor. Denna approximation kan sedan ersättas tillbaka i differentialekvationen för att erhålla

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}=-\gamma \mu _{0}\mathbf {m} \times \mathbf {H_{eff}} +{\frac {\mathbf {m} }{m}}\times \left({\ hat {\alpha }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}\right)$ ,

var

${\hat {\alpha }}=\gamma \mu _{0}m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {H_{ eff}} }{\mathrm {d} \mathbf {m} }}\delta {t}$

kallas den dimensionslösa dämpningstensorn. Dämpningstensorn anses ofta vara en fenomenologisk konstant som är ett resultat av interaktioner som ännu inte har karakteriserats fullt ut för allmänna system. För de flesta applikationer kan dämpning betraktas som isotrop, vilket innebär att dämpningstensorn är diagonal,

${\hat {\alpha }}={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha &0\\0&0&\alpha \end{bmatrix}}$ ,

och kan skrivas som en skalär, dimensionslös dämpningskonstant,

${\hat {\alpha }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}=\alpha {\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}$ .

Landau-Lifshitz-Gilberts ekvation

Med dessa överväganden kan differentialekvationen som styr beteendet hos ett magnetiskt moment i närvaro av ett applicerat magnetfält med dämpning skrivas i den mest välkända formen av Landau-Lifshitz-Gilbert-ekvationen ,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t }}=-\gamma \mu _{0}\mathbf {m} \times \mathbf {H_{eff}} +{\frac {\alpha }{m}}\left(\mathbf {m} \times { \frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}\right)$ .

Eftersom ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}} utan dämpning$ är riktad vinkelrätt mot både momentet och fältet, är dämpningstermen för Landau-Lifshitz-Gilbert-ekvationen tillhandahåller en förändring av momentet mot det applicerade fältet. Landau-Lifshitz-Gilbert-ekvationen kan också skrivas i termer av vridmoment,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}=-\gamma \left({\boldsymbol {\tau }}+{\boldsymbol {\tau _{d}}}\right)$ ,

där dämpningsmomentet ges av

${\boldsymbol {\tau _{d}}}=-{\frac {\alpha }{\gamma m}}\left(\mathbf {m} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}\right)$ .

Genom den mikromagnetiska teorin gäller Landau-Lifshitz-Gilberts ekvation även den mesoskopiska och makroskopiska magnetiseringen $M$ av ett prov genom enkel substitution,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {M} }{\mathrm {d} t }}=-\gamma \mu _{0}\mathbf {M} \times \mathbf {H_{eff}} +{\frac {\alpha }{M}}\left(\mathbf {M} \times { \frac {\mathrm {d} \mathbf {M} }{\mathrm {d} t}}\right)$ .