M jämvikt

M equilibrium är ett värdesatt lösningskoncept inom spelteorin som slappnar av de rationella valantagandena om perfekt maximering ("inga misstag") och perfekta övertygelser ("inga överraskningar"). Konceptet kan appliceras på alla normala spel med ändliga och diskreta strategier. M equilibrium introducerades först av Jacob K. Goeree och Philippos Louis.

Bakgrund

En stor mängd arbeten inom experimentell spelteori har dokumenterat systematiska avsteg från Nash-jämvikten, hörnstenen i klassisk spelteori. Bristen på empiriskt stöd för Nash-jämvikten fick Nash själv att återgå till att forska i ren matematik. Selten, som delade 1994 års Nobelpris med Nash, drog också slutsatsen att "spelteori är till för att bevisa teorem, inte för att spela spel". M equilibrium motiveras av önskan om en empiriskt relevant spelteori.

M equilibrium åstadkommer detta genom att ersätta de två huvudantagandena som ligger bakom klassisk spelteori, perfekt maximering och rationella förväntningar , med de svagare föreställningarna om ordinär monotoni – spelarnas valsannolikheter rankas på samma sätt som de förväntade vinsterna baserat på deras övertygelser – och ordinalkonsistens – spelarnas övertygelser ger samma rankning av förväntade utdelningar som deras val.

Jämvikter följer inte av de fasta punkter som följer genom att påtvinga rationella förväntningar och som länge har dominerat ekonomin. Istället är det matematiska maskineriet som används för att karakterisera M-jämvikter semi-algebraisk geometri . Intressant nog utvecklades en del av detta maskineri av Nash själv. Karakteriseringen av M-jämvikter som semi-algebraiska mängder möjliggör matematiskt exakta och empiriskt testbara förutsägelser.

Definition

M jämvikt baseras på följande två villkor;

Ordinal monotoni: valsannolikheter rankas på samma sätt som de förväntade vinsterna baserat på spelarnas tro. Detta ersätter antagandet om "perfekt maximering".
Ordinal konsistens: spelarens övertygelse ger samma rankning av förväntade vinster som deras val. Detta ersätter antagandet om rationella förväntningar eller perfekta övertygelser.

Låt $\sigma ^{c}$ och $\sigma ^{b}$ beteckna sammansättningarna av spelarnas val- respektive trosprofiler, och låt $rank$ och $\pi$ betecknar sammanlänkningarna av spelarnas rangkorrespondenser och vinstfunktioner. Vi skriver $\pi (\sigma ^{b})$ för profilen för förväntade vinster baserat på spelarnas övertygelse och $\pi (\sigma ^{c} )$ för profilen för förväntade utdelningar när övertygelser är korrekta, dvs. $\sigma _{i}^{b}=\sigma ^{c}$ för $i\ i N$ . Uppsättningen av möjliga valprofiler är $\Sigma =\Pi _{i\in N}\Sigma _{i}$ och uppsättningen av möjliga trosprofiler är $\Sigma ^{n}$ .

Definition: Vi säger $({\overline {M^{c}}},{\overline {M^{b}}})\subseteq \Sigma \times \Sigma ^{n}$ bildar en M-jämvikt om de är stängningarna av de största icke-tomma uppsättningarna $M^{c}$ och $M^{b}$ som uppfyller :

rank(\sigma ^{c})\subseteq rank(\pi (\sigma ^{b}))=rank(\pi (\sigma ^{c}))

för alla $\sigma ^{c}\in M^{c}$ , $\sigma ^{b}\in M^{b}$ .

Egenskaper

Det kan visas att M-jämvikter generellt uppfyller följande egenskaper:

M-jämvikter har positivt mått i $\Sigma \times \Sigma ^{n}$
M-jämvikter är "färgbara" av en unik rangvektor
Nash-jämvikter uppstår som gränspunkter för någon M-jämvikt

Antalet M-jämvikter kan generellt vara jämnt eller udda och kan vara mindre än, lika med eller större än antalet Nash-jämvikter. Dessutom kan vilken M-jämvikt som helst innehålla noll, en eller flera Nash-jämvikter. Viktigt är att måttet på alla M jämviktsvalsuppsättningar är begränsat och minskar exponentiellt med antalet spelare och antalet möjliga val.

Metateori

Överraskande nog "omsluter M-jämvikt" olika parametriska modeller baserade på fasta punkter, inklusive Quantal Response Equilibrium . Till skillnad från QRE är M-jämvikt emellertid parameterfri, lätt att beräkna och ålägger inte villkoret för rationella förväntningar av homogena och korrekta föreställningar.

Beteendestabilitet

Interiören i en färgad M-jämviktsuppsättning består av val och övertygelser som är beteendemässigt stabila. En profil är beteendemässigt stabil när små störningar i spelet inte förstör dess jämviktsnatur. Så en M-jämvikt är beteendemässigt stabil när den förblir en M-jämvikt även efter att spelet störts. Beteendestabilitet är en förstärkning av begreppet strategisk stabilitet .

Se även