Lulu utjämning
Inom signalbehandling är Lulu- utjämning en icke-linjär matematisk teknik för att ta bort impulsivt brus från en datasekvens såsom en tidsserie . Det är en icke-linjär motsvarighet till att ta ett glidande medelvärde (eller annan utjämningsteknik) av en tidsserie, och liknar andra icke-linjära utjämningstekniker, såsom Tukey eller medianutjämning .
LULU-utjämnare jämförs i detalj med medianutjämnare av Jankowitz och har visat sig vara överlägsna i vissa aspekter, särskilt i matematiska egenskaper som idempotens .
Egenskaper
Lulu-operatorer har ett antal attraktiva matematiska egenskaper, bland dem idempotens – vilket innebär att upprepad applicering av operatorn ger samma resultat som en enstaka applicering – och co-idempotens. En tolkning av idempotens är att: 'Idempotens betyder att det inte finns något "brus" kvar i den utjämnade datan och co-idempotens betyder att det inte finns någon "signal" kvar i residualen.'
När du studerar utjämnare finns det fyra egenskaper som är användbara att optimera:
- Effektivitet
- Konsistens
- Stabilitet
- Effektivitet
Operatörerna kan också användas för att sönderdela en signal i olika delkomponenter som liknar wavelet- eller Fourier-nedbrytning.
Historia
Lulu smoothers upptäcktes av CH Rohwer och har studerats under de senaste 30 åren. Deras exakta och asymptotiska fördelningar har härletts.
Drift
Att applicera en Lulu smoother består av upprepade appliceringar av min- och max-operatorerna över ett givet delintervall av data. Som med andra utjämnare måste en bredd eller intervall anges. Lulu smoothers är sammansatta av upprepade appliceringar av L (nedre) och U (Övre), som definieras enligt följande:
L-operatör
För en L-operator med bredd n över en oändlig sekvens av x s (..., x j , x j +1 ,...), beräknas operationen på x j enligt följande:
- 0 Först skapar vi ( n + 1) minisekvenser med längd ( n + 1) vardera. Var och en av dessa minisekvenser innehåller elementet x j . Till exempel, för bredd 1 skapar vi 2 minisekvenser med längd 2 vardera. För bredd 1 är dessa minisekvenser ( x j −1 , x j ) och ( x j , x j +1 ). För bredd 2 är minisekvenserna ( x j −2 , x j −1 , x j ), ( x j −1 , x j , x j +1 ) och ( x j , x j +1 , x j +2 ). För bredd 2 hänvisar vi till dessa minisekvenser som seq −1 , seq och seq +1
- 0 Sedan tar vi minimum av var och en av minisekvenserna. Återigen för bredd 2 ger detta: (Min(seq −1 ), Min(seq ), Min(seq +1 )). Detta ger oss ( n + 1) siffror för varje punkt.
- 0 Till sist tar vi maximum av (minisekvenserna) eller Max(Min(seq −1 ), Min(seq ), Min(seq +1 )) och detta blir L ( x j )
Sålunda för bredd 2 är L -operatorn:
- 0 L ( x j ) = Max(Min(sekv −1 ), Min(sekv ), Min(sekv +1 ))
U Operatör
Detta är identiskt med L-operatorn, förutom att ordningen för Min och Max är omvänd, dvs för bredd 2:
- 0 U ( x j ) = Min(Max(sekv −1 ), Max(sekv ), Max(sekv +1 ))
Exempel
Exempel på U- och L -operatorer, såväl som kombinerade UL- och LU -operatorer på en exempeldatauppsättning visas i följande figurer.
Det kan ses att resultaten för UL- och LU -operatörerna kan vara olika. De kombinerade operatörerna är mycket effektiva på att ta bort impulsbrus, de enda fallen där bruset inte tas bort effektivt är när vi får flera brussignaler väldigt nära varandra, i vilket fall filtret "ser" de multipla brusen som en del av signalen.
