Luddrig subalgebra

Fuzzy subalgebras theory är ett kapitel av fuzzy mängdteorin . Det erhålls från en tolkning i en flervärdig logik av axiom som vanligtvis uttrycker begreppet subalgebra av en given algebraisk struktur .

Definition

Betrakta ett första ordningens språk för algebraiska strukturer med en monadisk predikatsymbol S. Då är en fuzzy subalgebra en fuzzy modell av en teori som innehåller, för varje n -är operation h, axiomen

$\forall x_{1},.. .,\forall x_{n}(S(x_{1})\land .....\land S(x_{n})\högerpil S(h(x_{1},...,x_{n }))$

och, för varje konstant c, S(c).

Det första axiomet uttrycker stängningen av S med avseende på operationen h, och det andra uttrycker det faktum att c är ett element i S. Antag som ett exempel att värderingsstrukturen är definierad i [0,1] och beteckna med $\odot$ operationen i [0,1] som används för att tolka konjunktionen. Sedan definieras en fuzzy subalgebra av en algebraisk struktur vars domän är D av en fuzzy delmängd s : D → [0,1] av D så att för varje d ₁ ,...,d _n i D, om h är tolkning av den n-ära operationssymbolen h, då

$s(d_{1})\odot ...\odot s(d_{n})\leq s( \mathbf {h} (d_{1},...,d_{n}))$

Dessutom, om c är tolkningen av en konstant c så att s( c ) = 1.

En till stor del studerad klass av fuzzy subalgebras är den där operationen $\odot$ sammanfaller med minimum. I ett sådant fall är det omedelbart att bevisa följande påstående.

Förslag. En fuzzy delmängd s av en algebraisk struktur definierar en fuzzy subalgebra om och endast om för varje λ i [0,1], det slutna snittet {x ∈ D : s(x)≥ λ} av s är en subalgebra.

Luddiga undergrupper och submonoider

De fuzzy subgrupperna och de fuzzy submonoiderna är särskilt intressanta klasser av fuzzy subalgebras. I ett sådant fall är en fuzzy delmängd s av en monoid (M,•, u ) en fuzzy submonoid om och endast om

$s(\mathbf {u} )=1$
$s(x)\odot s(y)\leq s(x\cdot y)$

där u är det neutrala elementet i A.

Givet en grupp G är en fuzzy undergrupp av G en fuzzy submonoid s av G så att

s(x) ≤ s(x ⁻¹ ).

Det är möjligt att bevisa att begreppet suddig undergrupp är strikt relaterat till begreppen suddig ekvivalens. Antag faktiskt att S är en mängd, G en grupp av transformationer i S och (G,s) en suddig undergrupp av G. Sedan, genom att sätta

e(x,y) = Sup{s(h) : h är ett element i G så att h(x) = y}

vi får en suddig ekvivalens. Omvänt, låt e vara en otydlig ekvivalens i S och, för varje transformation h av S, set

s(h)= Inf{e(x,h(x)): x∈S}.

Sedan definierar s en fuzzy subgrupp av transformation i S. På liknande sätt kan vi relatera de fuzzy submonoiderna till fuzzy orders.

Bibliografi

Klir, G. och Bo Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic (1995) ISBN 978-0-13-101171-7
Zimmermann H., Fuzzy Set Theory and its Applications (2001), ISBN 978-0-7923-7435-0 .
Chakraborty H. och Das S., On fuzzy equivalence 1 , Fuzzy Sets and Systems, 11 (1983), 185-193.
Demirci M., Recasens J., Fuzzy groups, fuzzy functions and fuzzy equivalence relations , Fuzzy Sets and Systems, 144 (2004), 441-458.
Di Nola A., Gerla G., Lattice-valued algebras , Stochastica, 11 (1987), 137-150.
Hájek P., Metamathematics of fuzzy logic . Kluwer 1998.
Klir G., UTE H. St.Clair och Bo Yuan Fuzzy Set Theory Foundations and Applications ,1997.
Gerla G., Scarpati M., Similarities, Fuzzy Groups: a Galois Connection , J. Math. Anal. Appl., 292 (2004), 33-48.
Mordeson J., Kiran R. Bhutani och Azriel Rosenfeld. Fuzzy Group Theory , Springer Series: Studies in Fuzziness and Soft Computing, Vol. 182, 2005.
Rosenfeld A., Fuzzy groups , J. Math. Anal. Appl., 35 (1971), 512-517.
Zadeh LA, Fuzzy Sets , ''Information and Control'', 8 (1965) 338353.
Zadeh LA, Likhetsrelationer och otydlig ordning , Informera. Sci. 3 (1971) 177-200.